Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left(

Câu hỏi số 416836:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghiệm đúng với mọi số thực \(x?\)

A. \(1\)

B. \(3\)

C. Vô số

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:416836

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x - m\ln \left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0\,\,\forall x\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x - m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\), ta có \(f\left( 0 \right) = 0\), do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lại có hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), nên \(x = 0\) là điểm cực trị của hàm số, do đó \(f'\left( 0 \right) = 0\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x + {m^3} - 4m - m.\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thử lại:

+ Với \(m = 0\) ta có \({x^2} \ge 0\,\,\forall x\) (thỏa mãn).

+ Với \(m = 2\) ta có \({x^2} \ge 2\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\,\,\forall x\) (loại)

+ Với \(m = - 2\) ta có \({x^2} \ge - 2\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\,\,\forall x\) (thỏa mãn).

Vậy chỉ có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.