Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghiệm đúng với mọi số thực \(x?\)
Câu 416836: Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghiệm đúng với mọi số thực \(x?\)
A. \(1\)
B. \(3\)
C. Vô số
D. \(2\)
Quảng cáo
-
Đáp án : D(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x - m\ln \left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0\,\,\forall x\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x - m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\), ta có \(f\left( 0 \right) = 0\), do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Lại có hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), nên \(x = 0\) là điểm cực trị của hàm số, do đó \(f'\left( 0 \right) = 0\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x + {m^3} - 4m - m.\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 2\end{array} \right.\end{array}\)
Thử lại:
+ Với \(m = 0\) ta có \({x^2} \ge 0\,\,\forall x\) (thỏa mãn).
+ Với \(m = 2\) ta có \({x^2} \ge 2\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\,\,\forall x\) (loại)
+ Với \(m = - 2\) ta có \({x^2} \ge - 2\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\,\,\forall x\) (thỏa mãn).
Vậy chỉ có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
