Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên. Xác định số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| = \dfrac{3}{2},\) biết \(f\left( { - 4} \right) = 0.\)

Câu 416837: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên. Xác định số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| = \dfrac{3}{2},\) biết \(f\left( { - 4} \right) = 0.\)

A. \(6\)

B. \(9\)

C. \(10\)

D. \(7\)

Câu hỏi : 416837

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^3} - 3{x^2}\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) = - \frac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

+ Phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right) < {t_2}\end{array} \right.\).

Ta có \(t' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có:

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có \(1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10\) nghiệm phân biệt.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.