Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên.

Câu hỏi số 416837:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên. Xác định số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| = \dfrac{3}{2},\) biết \(f\left( { - 4} \right) = 0.\)

A. \(6\)

B. \(9\)

C. \(10\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:416837

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^3} - 3{x^2}\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) = - \frac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

+ Phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right) < {t_2}\end{array} \right.\).

Ta có \(t' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có:

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có \(1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10\) nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.