Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hệ phương trình

Câu hỏi số 417479:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {xy - 1} \right){.4^{xy}} = 2\left( {{x^2} + y} \right){.2^{{x^2} + y}}\\\dfrac{{{{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{2xy - y - 1}} + \dfrac{{18\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2xy + x - {x^2} - y + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x\) và \(y\) là các số thực dương. Tích của tất cả các phần tử trong tập hợp \(S\) bằng:

A. \(30\)

B. \(42\)

C. \(60\)

D. \(56\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:417479

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {xy - 1} \right){.4^{xy}} = 2\left( {{x^2} + y} \right){.2^{{x^2} + y}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{{{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{2xy - y - 1}} + \dfrac{{18\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2xy + x - {x^2} - y + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {xy - 1} \right){.4^{xy}} = 2\left( {{x^2} + y} \right){.2^{{x^2} + y}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\left( {xy - 1} \right){.4^{xy}} = \left( {{x^2} + y} \right){.2^{{x^2} + y}}\,\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\left( {xy - 1} \right){.2^{2xy}} = \left( {{x^2} + y} \right){.2^{{x^2} + y}}\,\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}.\left( {2xy - 2} \right){.2^{2xy}} = \left( {{x^2} + y} \right){.2^{{x^2} + y}}\,\\ \Leftrightarrow \left( {2xy - 2} \right){.2^{2xy - 2}} = \left( {{x^2} + y} \right){.2^{{x^2} + y}}\,\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t{.2^t}\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}\ln 2 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lại có \(f\left( {2xy - 2} \right) = f\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow 2xy - 2 = {x^2} + y\) \( \Leftrightarrow 2xy - y = {x^2} + 2\).

Thế vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{{18\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} + {x^2} + 2}} = m\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{{18\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{{18}}{{\dfrac{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}} = m\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)^2} + \dfrac{{18}}{{\dfrac{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}} = m\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - 1} \right)^2} + \dfrac{{18}}{{\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 1}} = m\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), phương trình (*) trở thành \({\left( {t - 1} \right)^2} + \dfrac{{18}}{{t + 1}} = m\,\,\left( {**} \right)\).

Ta có \(2xy - y = {x^2} + 2\,\,\left( {cmt} \right) \Leftrightarrow y\left( {2x - 1} \right) = {x^2} + 2\).

Do \(y > 0,\,\,{x^2} + 2 > 0\) nên \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}t' = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x + 2} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2} - 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{1 - 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)

Với \(x > \dfrac{1}{2}\) thì \(1 - 2x < 0\), do đó \(t' < 0\,\,\forall x > \dfrac{1}{2}\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có: với \(x > \dfrac{1}{2}\) thì \(t \in \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình \({\left( {t - 1} \right)^2} + \dfrac{{18}}{{t + 1}} = m\,\,\left( {**} \right)\) có nghiệm \(t \in \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).

Đặt \(f\left( t \right) = {\left( {t - 1} \right)^2} + \dfrac{{18}}{{t + 1}}\) ta có:

\(f'\left( t \right) = 2\left( {t - 1} \right) - \dfrac{{18}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {t - 1} \right){{\left( {t + 1} \right)}^2} - 18}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\).

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {t - 1} \right){\left( {t + 1} \right)^2} - 18 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 18\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} - t - 1 = 9\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} - t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow t = 2\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (**) có nghiệm \(t \in \left( {1;\sqrt 5 } \right)\) khi và chỉ khi \(m \in \left[ {7;9} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {7;8} \right\} \Rightarrow S = \left\{ {7;8} \right\}\).

Vậy tích các phần tử trong tập hợp \(S\) bằng \(7.8 = 56\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.