Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a.\) Mặt bên \(SAB\) nằm trong mặt

Câu hỏi số 418104:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a.\) Mặt bên \(SAB\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a,\,\,SB = a\sqrt 3 .\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right).\) Tính \(\tan \alpha .\)

A. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\tan \alpha = \sqrt 3 \)

D. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418104

Phương pháp giải

- Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(SH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, nếu đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HK \bot CD\,\,\left( {K \in CD} \right)\), xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng định lí Pytago đảo, chứng minh \(\Delta SAB\) vuông, từ đó áp dụng HTL để tính \(SH\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính góc.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(SH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HK \bot CD\,\,\left( {K \in CD} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot SK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\HK \subset \left( {ABCD} \right),\,\,HK \bot CD\\SK \subset \left( {SCD} \right),\,\,SK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = \alpha \).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(HK = 2a\).

Xét tam giác \(SAB\) có \(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{B^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2}\\A{B^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S{A^2} + S{B^2} = A{B^2}\) \( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(S\) (định lí Pytago đảo).

\( \Rightarrow SH = \dfrac{{SA.SB}}{{AB}} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{2a}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Xét tam giác vuông \(SHK\) có: \(tan\alpha = \tan \angle SKH = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}:2a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.