Cho phương trình \({e^{m\sin 2x - \cos 2x}} - {e^{{{\cos }^2}x + 2}} = 3{\cos ^2}x - m\sin 2x + 1\) với \(m\) là tham số thực. Số giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình đã cho vô nghiệm là:
Câu 418121: Cho phương trình \({e^{m\sin 2x - \cos 2x}} - {e^{{{\cos }^2}x + 2}} = 3{\cos ^2}x - m\sin 2x + 1\) với \(m\) là tham số thực. Số giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình đã cho vô nghiệm là:
A. \(3\)
B. \(2\)
C. vô số
D. \(1\)
- Xét hàm đặc trưng, chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên TXĐ của nó.
- Đưa phương trình về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\), phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} < {c^2}\).
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{e^{m\sin 2x - \cos 2x}} - {e^{{{\cos }^2}x + 2}} = 3{\cos ^2}x - m\sin 2x + 1\\ \Leftrightarrow {e^{m\sin 2x - \cos 2x}} + m\sin 2x = {e^{{{\cos }^2}x + 2}} + 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x + 2\\ \Leftrightarrow {e^{m\sin 2x - \cos 2x}} + m\sin 2x = {e^{{{\cos }^2}x + 2}} + \cos 2x + {\cos ^2}x + 2\\ \Leftrightarrow {e^{m\sin 2x - \cos 2x}} + m\sin 2x - \cos 2x = {e^{{{\cos }^2}x + 2}} + {\cos ^2}x + 2\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) với \(t \ge 2\) ta có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0\,\,\,\forall t \ge 2\), do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\), lại có \(f\left( {m\sin 2x - \cos 2x} \right) = f\left( {{{\cos }^2}x + 2} \right)\) \( \Rightarrow m\sin 2x - \cos 2x = {\cos ^2}x + 2\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\sin 2x - \cos 2x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 2\\ \Leftrightarrow 2m\sin 2x - 2\cos 2x = 1 + \cos 2x + 4\\ \Leftrightarrow 2m\sin 2x - 3\cos 2x = 5\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Phương trình (*) vô nghiệm \({\left( {2m} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} < {5^2} \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\).
Mà \(m\) là số nguyên dương \( \Rightarrow m = 1\).
Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com