Cho phương trình \({e^{m\sin 2x - \cos 2x}} - {e^{{{\cos }^2}x + 2}} = 3{\cos ^2}x - m\sin 2x + 1\) với \(m\) là

Câu hỏi số 418121:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({e^{m\sin 2x - \cos 2x}} - {e^{{{\cos }^2}x + 2}} = 3{\cos ^2}x - m\sin 2x + 1\) với \(m\) là tham số thực. Số giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình đã cho vô nghiệm là:

A. \(3\)

B. \(2\)

C. vô số

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418121

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng, chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên TXĐ của nó.

- Đưa phương trình về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\), phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} < {c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{e^{m\sin 2x - \cos 2x}} - {e^{{{\cos }^2}x + 2}} = 3{\cos ^2}x - m\sin 2x + 1\\ \Leftrightarrow {e^{m\sin 2x - \cos 2x}} + m\sin 2x = {e^{{{\cos }^2}x + 2}} + 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x + 2\\ \Leftrightarrow {e^{m\sin 2x - \cos 2x}} + m\sin 2x = {e^{{{\cos }^2}x + 2}} + \cos 2x + {\cos ^2}x + 2\\ \Leftrightarrow {e^{m\sin 2x - \cos 2x}} + m\sin 2x - \cos 2x = {e^{{{\cos }^2}x + 2}} + {\cos ^2}x + 2\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) với \(t \ge 2\) ta có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0\,\,\,\forall t \ge 2\), do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\), lại có \(f\left( {m\sin 2x - \cos 2x} \right) = f\left( {{{\cos }^2}x + 2} \right)\) \( \Rightarrow m\sin 2x - \cos 2x = {\cos ^2}x + 2\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\sin 2x - \cos 2x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 2\\ \Leftrightarrow 2m\sin 2x - 2\cos 2x = 1 + \cos 2x + 4\\ \Leftrightarrow 2m\sin 2x - 3\cos 2x = 5\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình (*) vô nghiệm \({\left( {2m} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} < {5^2} \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\).

Mà \(m\) là số nguyên dương \( \Rightarrow m = 1\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.