Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){4^x} + {2^{x + 1}} + m = 0\) với \(m\) là tham số thực. Biết

Câu hỏi số 418122:

Vận dụng

Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){4^x} + {2^{x + 1}} + m = 0\) với \(m\) là tham số thực. Biết tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu là khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Giá trị của biểu thức \(P = a + b\) là:

A. \(P = \dfrac{1}{2}\)

B. \(P = - \dfrac{3}{5}\)

C. \(P = - \dfrac{{11}}{{10}}\)

D. \(P = - \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418122

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {2^x} > 0\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Để phương trình ban đầu có hai nghiệm trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\).

- Giải hệ điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right.\), suy ra khoảng giá trị của \(m\), đồng nhất hệ số tìm 4\(a,\,\,b\) và tính \(P = a + b\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {m - 1} \right){4^x} + {2^{x + 1}} + m = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){\left( {{2^x}} \right)^2} + {2.2^x} + m = 0\).

Đặt \(t = {2^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), phương trình trở thành \(\left( {m - 1} \right){t^2} + 2t + m = 0\) (*).

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' = 1 - \left( {m - 1} \right)m > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\ - {m^2} + m + 1 > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\ - \dfrac{2}{{m - 1}} > 0\\\dfrac{m}{{m - 1}} > 0\\\dfrac{m}{{m - 1}} + \dfrac{2}{{m - 1}} + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < 0\\ - \dfrac{1}{2} < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < m < 0\end{array}\)

\( \Rightarrow m \in \left( { - \dfrac{1}{2};0} \right) \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2},\,\,b = 0\).

Vậy \(P = a + b = - \dfrac{1}{2} + 0 = - \dfrac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.