Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {3;9} \right)\). Các đường thẳng \(AB\), \(AC\), \(BC\) lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) (\(\) khác \(A\) và \(B\), \(N\) khác \(A\) và \(C\), \(P\) khác \(B\) và \(C\)). Biết rằng tổng các hoành độ của \(M,\,\,N,\,\,P\) bằng 5, giá trị của \(f\left( 0 \right)\) là:

Câu 419224: Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {3;9} \right)\). Các đường thẳng \(AB\), \(AC\), \(BC\) lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) (\(\) khác \(A\) và \(B\), \(N\) khác \(A\) và \(C\), \(P\) khác \(B\) và \(C\)). Biết rằng tổng các hoành độ của \(M,\,\,N,\,\,P\) bằng 5, giá trị của \(f\left( 0 \right)\) là:

A. \( - 6\)

B. \( - 18\)

C. \(18\)

D. \(6\)

Câu hỏi : 419224

Quảng cáo

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Vì đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {3;9} \right)\) nên hàm số có dạng

\(f\left( x \right) = a\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + {x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{4 - 1}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) = y - 1 \Leftrightarrow y = 3x - 2\).

Phương trình đường thẳng \(AC\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{{3 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{9 - 1}} \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right) = y - 1 \Leftrightarrow y = 4x - 3\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(\dfrac{{x - 2}}{{3 - 2}} = \dfrac{{y - 4}}{{9 - 4}} \Leftrightarrow 5\left( {x - 2} \right) = y - 4 \Leftrightarrow y = 5x - 6\).

Gọi \(M\left( {m;3m - 2} \right) \in AB\,\,\left( {m \ne 1;2} \right)\), \(N\left( {n;4n - 3} \right) \in AC\,\,\left( {n \ne 1;3} \right)\), \(P\left( {p;5p - 6} \right) \in BC\,\,\left( {p \ne 2;3} \right)\). Theo bài ra ta có \(m + n + p = 5\).

Vì \(M,\,\,N,\,\,P \in f\left( x \right)\) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3m - 2 = a\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) + {m^2}\\4n - 3 = a\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) + {n^2}\\5p - 6 = a\left( {p - 1} \right)\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) + {p^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) + {m^2} - 3m + 2 = 0\\a\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) + {n^2} - 4n + 3 = 0\\a\left( {p - 1} \right)\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) + {p^2} - 5p + 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\\a\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) + \left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right) = 0\\a\left( {p - 1} \right)\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) + \left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {am - 3a + 1} \right) = 0\\\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {an - 2a + 1} \right) = 0\\\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right)\left( {ap - a + 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}am - 3a + 1 = 0\,\,\left( {do\,\,m \ne 1;2} \right)\\an - 2a + 1 = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,n \ne 1;3} \right)\\ap - a + 1 = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,p \ne 2;3} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{3a - 1}}{a} = 3 - \dfrac{1}{a}\\n = \dfrac{{2a - 1}}{a} = 2 - \dfrac{1}{a}\\p = \dfrac{{a - 1}}{a} = 1 - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,m + n + p = 5\\ \Rightarrow 3 - \dfrac{1}{a} + 2 - \dfrac{1}{a} + 1 - \dfrac{1}{a} = 5\\ \Leftrightarrow 6 - \dfrac{3}{a} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(f\left( 0 \right) = - 6a = - 6.3 = - 18\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.