Cho bất phương trình \({\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + \sqrt {{x^2} + 2}\) \( \le {\log

Câu hỏi số 419770:

Vận dụng

Cho bất phương trình \({\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + \sqrt {{x^2} + 2}\) \( \le {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) - 2x\) có tập xác định D. Trên D, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

A. \(\sqrt {{x^2} + 2} + 2x \ge 0\)

B. \(\sqrt {{x^2} + 2} + 2x \le 0\)

C. \(2\sqrt {{x^2} + 2} + 3x \ge 0\)

D. \(2\sqrt {{x^2} + 2} + 3x \le 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:419770

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình logarit, xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} > 0\\x + \sqrt {{x^2} + 2} > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + \sqrt {{x^2} + 2} \le {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) - 2x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) + x + \sqrt {{x^2} + 2} \end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) \le \left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) \Leftrightarrow 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le x + \sqrt {{x^2} + 2} \) \( \Leftrightarrow 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 0\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.