Cho bất phương trình \({\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + \sqrt {{x^2} + 2}\) \( \le {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) - 2x\) có tập xác định D. Trên D, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

Câu 419770: Cho bất phương trình \({\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + \sqrt {{x^2} + 2}\) \( \le {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) - 2x\) có tập xác định D. Trên D, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

A. \(\sqrt {{x^2} + 2} + 2x \ge 0\)

B. \(\sqrt {{x^2} + 2} + 2x \le 0\)

C. \(2\sqrt {{x^2} + 2} + 3x \ge 0\)

D. \(2\sqrt {{x^2} + 2} + 3x \le 0\)

Câu hỏi : 419770

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình logarit, xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} > 0\\x + \sqrt {{x^2} + 2} > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + \sqrt {{x^2} + 2} \le {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) - 2x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) + x + \sqrt {{x^2} + 2} \end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) \le \left( {x + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) \Leftrightarrow 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le x + \sqrt {{x^2} + 2} \) \( \Leftrightarrow 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 0\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.