Qua điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của
Qua điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ đường thẳng qua điểm \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(E\) nằm giữa \(A\) và \(F.\) Chứng minh \(BE.CF = BF.CE.\)
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp nhờ các dấu hiệu nhận biết.
b) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng để từ đó suy ra các tỉ số tương ứng rồi suy ra đẳng thức.
a) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.
AB là tiếp tuyến với (O) nên \(OB \bot AB \Rightarrow \angle OBA = {90^0}\)
AC là tiếp tuyến với (O) nên \(OC \bot AC \Rightarrow \angle OCA = {90^0}\)
Tứ giác ABOC có \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Do đó ABOC là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\))
b) Kẻ đường thẳng qua điểm \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(E\) nằm giữa \(A\) và \(F.\) Chứng minh \(BE.CF = BF.CE.\)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AFB\) có:
\(A\) chung
\(\angle ABE = \angle AFB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\))
\( \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta AFB\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{BE}}{{BF}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow AB.BF = AF.BE\) và \(A{B^2} = AE.AF\)
Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AFC\) có:
\(A\) chung
\(\angle ACE = \angle AFC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(CE\))
\( \Rightarrow \Delta ACE \sim \Delta AFC\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AF}} = \dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow AC.CE = AE.CF\)
Ta có: \(AB.BF = AF.BE\) và \(AC.CE = AE.CF\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB.BF.AC.CE = AF.BE.AE.CF\\ \Rightarrow A{B^2}.BF.CE = AE.AF.BE.CF\end{array}\)
Mà \(A{B^2} = AE.AF\left( {cmt} \right)\) nên \(BF.CE = BE.CF\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
