Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc cung \(AB\) sao
Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc cung \(AB\) sao cho \(AC > BC\) (C khác A, C khác B). Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(C\) cắt nhau ở \(M\).
a) Chứng minh tứ giác \(AOCM\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\angle AOM = \angle ABC\).
c) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với \(AB\) cắt \(MO\) tại \(H\). Chứng minh \(CM = CH\).
d) Hai tia \(AB\) và \(MC\) cắt nhau tại \(P,\) đặt \(\angle COP = \alpha \).
Chứng minh giá trị biểu thức \(\dfrac{{\left( {P{A^2} - PC.PM} \right).\sin \alpha }}{{{S_{\Delta ACP}}}}\) là một hằng số.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác \(AOCM\) nội tiếp.
Vì \(MA,\,\,MC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\angle MAO = \angle MCO = {90^0}\).
Xét tứ giác \(AOCM\) có: \(\angle MAO + \angle MCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AOCM\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng \({180^0}\)).
b) Chứng minh \(\angle AOM = \angle ABC\).
Vì \(AOCM\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle AOM = \angle ACM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\)).
Lại có \(\angle ACM = \angle ABC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\)).
\( \Rightarrow \angle AOM = \angle ABC\) (đpcm).
c) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với \(AB\) cắt \(MO\) tại \(H\). Chứng minh \(CM = CH\).
Gọi \(CH \cap AB = \left\{ N \right\}\).
Theo ý b) ta có: \(\angle AOM = \angle ABC\).
Mà 2 góc này nằm ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau nên \(OM//BC\) (dhnb).
\( \Rightarrow BC//MH\) \( \Rightarrow \angle CHM = \angle BCH = \angle BCN\) (1) (so le trong).
Ta có:
\(\angle BCN + \angle ABC = {90^0}\) (do tam giác \(BCN\) vuông tại \(N\)).
\(\angle CAB + \angle ABC = {90^0}\) (\(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\)).
\( \Rightarrow \angle BCN = \angle CAB\) (cùng phụ với \(\angle ABC\)).
Lại có: \(\angle CAB = \angle CAO = \angle CMO = \angle CMH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OC\)).
\( \Rightarrow \angle BCN = \angle CMH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \( \Rightarrow \angle CHM = \angle CMH\).
\( \Rightarrow \Delta CMH\) cân tại \(C\) (định nghĩa).
Vậy \(CH = CM\) (tính chất tam giác cân (đpcm).
d) Hai tia \(AB\) và \(MC\) cắt nhau tại \(P,\) đặt \(\angle COP = \alpha \).
Chứng minh giá trị biểu thức \(\dfrac{{\left( {P{A^2} - PC.PM} \right).\sin \alpha }}{{{S_{\Delta ACP}}}}\) là một hằng số.
Xét \(\Delta POC\) và \(\Delta PMA\) có:
\(\begin{array}{l}\angle APM\,\,chung;\\\angle PCO = \angle PAM = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta POC \sim \Delta PMA\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{PA}} = \dfrac{{PO}}{{PM}}\) (2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow PC.PM = PO.PA\).
Lại có: \({S_{\Delta ACP}} = \dfrac{1}{2}CN.AP\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{\left( {P{A^2} - PC.PM} \right).\sin \alpha }}{{{S_{\Delta ACP}}}}\\ = \dfrac{{\left( {P{A^2} - PO.PA} \right).\sin \alpha }}{{\dfrac{1}{2}CN.AP}}\\ = \dfrac{{PA.\left( {PA - PO} \right).\sin \alpha }}{{\dfrac{1}{2}CN.AP}}\\ = \dfrac{{2OA.\sin \alpha }}{{CN}}\end{array}\)
Xét tam giác vuông \(OCN\) ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{CN}}{{OC}} = \dfrac{{CN}}{{OA}} \Rightarrow \dfrac{{OA}}{{CN}} = \dfrac{1}{{sin\alpha }}\).
\( \Rightarrow \,\dfrac{{\left( {P{A^2} - PC.PM} \right).\sin \alpha }}{{{S_{\Delta ACP}}}} = 2\sin \alpha .\dfrac{1}{{\sin \alpha }} = 2\).
Vậy \(\dfrac{{\left( {P{A^2} - PC.PM} \right).\sin \alpha }}{{{S_{\Delta ACP}}}} = 2\) = hằng số (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
