Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là một tam giác vuông cân tại \(B,\)\(AB = AA' =
Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là một tam giác vuông cân tại \(B,\)\(AB = AA' = 2a\), \(M\) là trung điểm \(BC\) (minh họa như hình dưới). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\). Chứng minh \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {BMN} \right)\) kẻ \(BI \bot MN\,\,\,\left( {I \in MN} \right)\), trong \(\left( {ABI} \right)\) kẻ \(BH \bot AI\,\,\left( {H \in AI} \right)\). Chứng minh \(BH \bot \left( {AMN} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\).
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BB'C\) nên \(B'C//MN \subset \left( {AMN} \right) \Rightarrow B'C//\left( {AMN} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right)\).
Lại có \(BC \cap \left( {AMN} \right) = M\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{CM}}{{BM}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\\AB \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \bot MN\).
Trong \(\left( {BMN} \right)\) kẻ \(BI \bot MN\,\,\,\left( {I \in MN} \right)\), trong \(\left( {ABI} \right)\) kẻ \(BH \bot AI\,\,\left( {H \in AI} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MN \bot BI\\MN \bot AB\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {ABI} \right) \Rightarrow MN \bot BH\\\left\{ \begin{array}{l}BH \bot MN\\BH \bot AI\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right) = BH\end{array}\)
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB = BC = 2a\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BMN\) ta có: \(BI = \dfrac{{BN.BM}}{{\sqrt {B{N^2} + B{M^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABI\) ta có: \(BH = \dfrac{{AB.BI}}{{\sqrt {A{B^2} + B{I^2}} }} = \dfrac{{2a.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt {4{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{2a}}{3}\).
Vậy \(d\left( {AM;B'C} \right) = \dfrac{{2a}}{3}\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
