Cho hình trụ có chiều cao bằng 5. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy của hình trụ theo hai dây cung \(AB\), \(CD\) mà \(AB = CD = 5\), diện tích tứ giác\(ABCD\) bằng \(30\) (minh họa như hình dưới). Diện tích xung quanh hình trụ đã cho bằng

Câu 423734: Cho hình trụ có chiều cao bằng 5. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy của hình trụ theo hai dây cung \(AB\), \(CD\) mà \(AB = CD = 5\), diện tích tứ giác\(ABCD\) bằng \(30\) (minh họa như hình dưới). Diện tích xung quanh hình trụ đã cho bằng

A. \(15\pi .\)

B. \(30\pi .\)

C. \(32\pi .\)

D. \(18\pi .\)

Câu hỏi : 423734

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(ABCD\) là hình bình hành.

- Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên mặt phẳng đáy còn lại của hình trụ, chứng minh \(A'B'CD\) là hình chữ nhật, từ đó chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật.

- Chứng minh \(B'D\) là đường kính của đường tròn đáy của hình trụ.

- \({S_{ABCD}} = AB.BC\), tính \(BC\).

- Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông tính \(B'C,\,\,B'D\).

- Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) bằng \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là hai tâm của hai đường tròn đáy chứa \(AB,\,\,CD\).

Ta có: \(\left( {ABCD} \right)\) cắt hai mặt phẳng đáy song song theo hai giao tuyến \(AB,\,\,CD\) \( \Rightarrow AB//CD\).

Lại có \(AB = CD = 5\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(ABCD\) là hình bình hành.

Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên mặt phẳng chứa \(\left( {O'} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'\parallel AB\\A'B' = AB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'\parallel CD\\A'B' = CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'B'CD\) là hình bình hành.

Mà \(A'B'CD\) nội tiếp \(\left( {O'} \right)\) nên \(A'B'CD\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow \angle B'CD = {90^0} \Rightarrow \angle B'CD\) nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(\left( {O'} \right)\).

\( \Rightarrow B'D\) là đường kính của \(\left( {O'} \right)\) \( \Rightarrow O' \in B'D\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot B'C\\CD \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BB'C} \right) \Rightarrow CD \bot BC\).

\( \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.BC = 30 \Rightarrow BC = \dfrac{{30}}{{AB}} = \dfrac{{30}}{5} = 6\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(BB'C\) có: \(B'C = \sqrt {B{C^2} - BB{'^2}} = \sqrt {{6^2} - {5^2}} = \sqrt {11} \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(B'CD\) có: \(B'D = \sqrt {B'{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {11 + {5^2}} = 6\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(r = \dfrac{1}{2}B'D = 3\).

Vậy diện tích xung quanh hình trụ đã cho là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .3.5 = 30\pi \).

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.