Cho hình trụ có chiều cao bằng 5. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt

Câu hỏi số 423734:

Vận dụng

Cho hình trụ có chiều cao bằng 5. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy của hình trụ theo hai dây cung \(AB\), \(CD\) mà \(AB = CD = 5\), diện tích tứ giác\(ABCD\) bằng \(30\) (minh họa như hình dưới). Diện tích xung quanh hình trụ đã cho bằng

A. \(15\pi .\)

B. \(30\pi .\)

C. \(32\pi .\)

D. \(18\pi .\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:423734

Phương pháp giải

- Chứng minh \(ABCD\) là hình bình hành.

- Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên mặt phẳng đáy còn lại của hình trụ, chứng minh \(A'B'CD\) là hình chữ nhật, từ đó chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật.

- Chứng minh \(B'D\) là đường kính của đường tròn đáy của hình trụ.

- \({S_{ABCD}} = AB.BC\), tính \(BC\).

- Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông tính \(B'C,\,\,B'D\).

- Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) bằng \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Giải chi tiết

Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là hai tâm của hai đường tròn đáy chứa \(AB,\,\,CD\).

Ta có: \(\left( {ABCD} \right)\) cắt hai mặt phẳng đáy song song theo hai giao tuyến \(AB,\,\,CD\) \( \Rightarrow AB//CD\).

Lại có \(AB = CD = 5\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(ABCD\) là hình bình hành.

Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên mặt phẳng chứa \(\left( {O'} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'\parallel AB\\A'B' = AB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'\parallel CD\\A'B' = CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'B'CD\) là hình bình hành.

Mà \(A'B'CD\) nội tiếp \(\left( {O'} \right)\) nên \(A'B'CD\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow \angle B'CD = {90^0} \Rightarrow \angle B'CD\) nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(\left( {O'} \right)\).

\( \Rightarrow B'D\) là đường kính của \(\left( {O'} \right)\) \( \Rightarrow O' \in B'D\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot B'C\\CD \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BB'C} \right) \Rightarrow CD \bot BC\).

\( \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.BC = 30 \Rightarrow BC = \dfrac{{30}}{{AB}} = \dfrac{{30}}{5} = 6\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(BB'C\) có: \(B'C = \sqrt {B{C^2} - BB{'^2}} = \sqrt {{6^2} - {5^2}} = \sqrt {11} \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(B'CD\) có: \(B'D = \sqrt {B'{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {11 + {5^2}} = 6\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(r = \dfrac{1}{2}B'D = 3\).

Vậy diện tích xung quanh hình trụ đã cho là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .3.5 = 30\pi \).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.