Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(AB = AC = 4\), \(\angle BAC = {30^0}\). Mặt

Câu hỏi số 425063:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(AB = AC = 4\), \(\angle BAC = {30^0}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( {ABC} \right)\) cắt đoạn \(SA\) tại \(M\) sao cho \(SM = 2MA\). Diện tích thiết diện của \(\left( P \right)\) với hình chóp \(S.ABC\) bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{{16}}{9}\)

B. \(\dfrac{{14}}{9}\)

C. \(\dfrac{{25}}{9}\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425063

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\).

- Sử dụng tính chất: Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

- Sử dụng công thức: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC\).

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(MN\parallel AB\,\,\left( {N \in SB} \right)\), trong \(\left( {SBC} \right)\) kẻ \(NP\parallel BC\,\,\left( {P \in SC} \right)\).

Khi đó ta có \(\left( P \right) \equiv \left( {MNP} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NP\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAC} \right) = MP\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) là tam giác \(MNP\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{{NP}}{{BC}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{MP}}{{AC}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{NP}}{{BC}} = \dfrac{{MP}}{{AC}}\) \( \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{4}{9}{S_{\Delta ABC}}\).

Lại có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \dfrac{1}{2}.4.4.\sin {30^0} = 4\).

Vậy \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{4}{9}.4 = \dfrac{{16}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.