Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C sao cho \(CA <
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C sao cho \(CA < CB\). Trên đoạn thẳng OB lấy điểm M sao cho M nằm giữa O và B. Đường thẳng đi qua M vuông góc với AB cắt tia AC tại N, cắt BC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ACEM nội tiếp trong một đường tròn.
b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại C cắt đường thẳng MN tại F. Chứng minh \(\Delta CEF\) cân.
c) Gọi H là giao điểm của NB với nửa đường tròn (O). Chứng minh HF là tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác ACEM nội tiếp trong một đường tròn.
Ta có: \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle AME = {90^0}\) (do \(EM \bot AB\))
Tứ giác ACEM có \(\angle ACE + \angle AME = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm)
b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại C cắt đường thẳng MN tại F. Chứng minh \(\Delta CEF\) cân.
CF là tiếp tuyến của (O) nên \(OC \bot CF \Rightarrow \angle OCF = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle {C_1} + \angle {C_2} = {90^0}\) (1)
Tam giác EMB vuông tại M nên \(\angle {B_1} + \angle {E_1} = {90^0}\)
Mà \(\angle {E_1} = \angle {E_2}\) (đối đỉnh)
Nên \(\angle {B_1} + \angle {E_2} = {90^0}\) (2)
Tam giác OBC cân tại O nên \(\angle {B_1} = \angle {C_1}\) (3)
Từ (1) (2) và (3) \( \Rightarrow \angle {C_2} = \angle {E_2}\)
\( \Rightarrow \Delta CEF\) cân tại F (đpcm)
c) Gọi H là giao điểm của NB với nửa đường tròn (O). Chứng minh HF là tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Tứ giác ABHC nội tiếp nên \(\angle NHC = \angle CAB\) (tính chất)
Tứ giác ACEM nội tiếp nên \(\angle {E_2} = \angle CAM = \angle CAB\) (tính chất)
Nên \(\angle NHC = \angle {E_2} = \angle NEC\).
Tứ giác CNHE có \(\angle NHC = \angle NEC\) (cmt) nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)
\( \Rightarrow \angle NHE + \angle NCE = {180^0}\) (tính chất)
\( \Rightarrow \angle NHE = {180^0} - \angle NCE = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta NHE\) vuông tại \(H\).
Theo câu b, \(\Delta CEF\) cân tại F nên \(FE = FC\) (4)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle CNF + \angle {E_2} = {90^0}\\\angle NCF + \angle {C_2} = {90^0}\end{array}\)
Mà \(\angle {E_2} = \angle {C_2}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle CNF = \angle NCF\) \( \Rightarrow \Delta NCF\) cân tại F
\( \Rightarrow FC = FN\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra \(FC = FN = FE\) hay \(F\) là trung điểm \(EN\).
Tam giác \(HNE\) vuông tại \(H\) có \(HF\) là trung tuyến nên \(HF = \dfrac{1}{2}EN = CF\).
Xét \(\Delta OCF\) và \(\Delta OHF\) có:\( = 25 - 4m + 12 = 37 - 4m\)
\(\begin{array}{l}OC = OH\left( { = R} \right)\\OF\,\,\,chung\\FC = FH\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OCF = \Delta OHF\,\,\left( {c - c - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle OHF = \angle OCF\) (góc tương ứng)
Mà \(\angle OCF = {90^0}\) nên \(\angle OHF = {90^0} \Rightarrow OH \bot HF\)
Vậy \(FH\) là tiếp tuyến của (O) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
