Từ điểm \(A\) nằm ở ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\)

Câu hỏi số 425266:

Vận dụng

Từ điểm \(A\) nằm ở ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) tới đường tròn (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm). Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(E\) và \(F\) (\(AE < AF\) và \(d\) là không đi qua tâm \(O\)).

a) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC.\) Chứng minh \(AH.AO = AE.AF.\)

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BC\) và \(EF,\,\,M\) là trung điểm của \(EF.\) Chứng minh \(\dfrac{{AK}}{{AE}} + \dfrac{{AK}}{{AF}} = 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425266

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B,\,\,C.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB = \left\{ B \right\}\\AC \bot OC = \left\{ C \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:

\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb) (đpcm).

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC.\) Chứng minh \(AH.AO = AE.AF.\)

Ta có: \(OB = OC = R \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(AB = AC\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Mà \(AO \cap BC = \left\{ H \right\}\)

\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:

\(A{B^2} = AH.AO.\)

Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta ACF\) ta có:

\(\angle A\,\,\,chung\)

\(\angle AFC = \angle ACE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(EC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta ACF\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AF}} \Rightarrow A{C^2} = AE.AF\end{array}\)

Mà \(AB = AC\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow AH.AO = AE.AF\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BC\) và \(EF,\,\,M\) là trung điểm của \(EF.\) Chứng minh \(\dfrac{{AK}}{{AE}} + \dfrac{{AK}}{{AF}} = 2.\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AFC\) có

\(\angle CAF\) chung

\(\angle ECA = \angle CFA\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\(\begin{array}{l}\angle \Delta ACE \sim \Delta AFC\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AF}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} \Leftrightarrow A{C^2} = AE.AF\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Do M là trung điểm của EF nên \(OM \bot EF\)

Xét tứ giác ABOM có \(\angle ABO + \angle AOM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên ABOM nội tiếp

Mà A,O,B, C cùng thuộc 1 đường tròn (cmt)

\( \Rightarrow \) A, O , B , M, C cùng thuộc 1 đường tròn

\( \Rightarrow \angle AMC = \angle ABC = \angle ACB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AKC \sim \Delta ACM\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AM}} = \dfrac{{AK}}{{AC}} \Leftrightarrow A{C^2} = AM.AK & \left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AF = AK.AM\)

Mặt khác \(AE + AF = AE + AM + MF = AE + AM + ME = AM + AM = 2AM\)

\( \Rightarrow AM = \dfrac{{AE + AF}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AE.AF = AK.\dfrac{{AE + AF}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{AE + AF}}{{AE.AF}} = \dfrac{2}{{AK}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{AE}} + \dfrac{1}{{AF}} = \dfrac{2}{{AK}}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link