Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 425923:

Vận dụng cao

Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 6x + 4y\) bằng:

A. \(\dfrac{{65}}{8}\)

B. \(\dfrac{{33}}{4}\)

C. \(\dfrac{{49}}{8}\)

D. \(\dfrac{{57}}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425923

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả 2 vế của bất phương trình và xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế của bất phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\\ \Leftrightarrow y{.4^{x + y - 1}} \ge 3 - 2x\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + \left( {x + y - 1} \right){\log _2}4 \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + 2\left( {x + y - 1} \right) \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _2}y + 2x + 2y - 3 \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}2y + 2y \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right) + 3 - 2x\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lại có \(f\left( {2y} \right) \ge f\left( {3 - 2x} \right)\) \( \Rightarrow 2y \ge 3 - 2x\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x^2} + {y^2} + 6x + 4y\\P \ge {x^2} + {\left( {\dfrac{{3 - 2x}}{2}} \right)^2} + 6x + 2\left( {3 - 2x} \right)\\P \ge {x^2} + \dfrac{{4{x^2} - 12x + 9}}{4} + 6x + 6 - 4x\\ \Leftrightarrow P \ge 2{x^2} - x + \dfrac{{33}}{4}\end{array}\)

Ta có: \(3 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2{x^2} - x + \dfrac{{33}}{4}\) với \(x < \dfrac{3}{2}\), hàm số đạt GTNN tại \(x = \dfrac{1}{4}\), khi đó ta có \(g\left( x \right) \ge g\left( {\dfrac{1}{4}} \right)\,\,\forall x < \dfrac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge \dfrac{{65}}{8}\).

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{65}}{8}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\).

Vậy \({P_{\min }} = \dfrac{{65}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.