Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết AC = a, BC = a√3, mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a .

Câu hỏi số 42839:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết AC = a, BC = a√3, mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 60⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a .

A. V_{ABC.A’B’C} = $\frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4}$ ; d= $\frac{a}{\sqrt{40}}$

B. V_{ABC.A’B’C} = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$ ; d = $\frac{3a}{\sqrt{43}}$

C. V_{ABC.A’B’C} = $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$ ; d= $\frac{3a}{\sqrt{43}}$

D. V_{ABC.A’B’C} = $\frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4}$ ; d = $\frac{3a}{\sqrt{43}}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42839

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có

V_{ABC.A’B’C}= S_ABC.CC’

S_ABC= $\frac{1}{2}$ .CA.CB = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

(ABC') ∩ (ABC) = AB

Kẻ CH ⊥ AB = H => AB ⊥ (CC'H)

=> 60⁰ = ((ABC’), (ABC)) = (CH, HC’) = $\widehat{CHC'}$

Xét tam giác vuông ABC có CH là chiều cao nên

$\frac{1}{CH^{2}}$ = $\frac{1}{CA^{2}}$ + $\frac{1}{CB^{2}}$ = $\frac{1}{3a^{2}}$ + $\frac{1}{a^{2}}$ = $\frac{4}{3a^{2}}$ => CH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác vuông CHC' có

CC' = HC.tan60⁰ = $\frac{3a}{2}$ =>V_{ABC.A’B’C} = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$ . $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4}$ (đvtt)

Gọi N là trung điểm của AC thì AM // C'N nên AM // (BC'N)

d_{(AM, BC’)}= d_{(AM, (BC’N))} = d_{(A, (BC’N))}. N là trung điểm của AC

Nên d_{(A, (BC’N))} = d_{(C, (BC’N))}.

Ta có

$\frac{1}{d_{(C,BC'N)}}$ = $\frac{1}{CN^{2}}$ + $\frac{1}{CB^{2}}$ + $\frac{1}{CC'^{2}}$ = $\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{3a^{2}}+\frac{4}{9a^{2}}$ = $\frac{43}{9a^{2}}$

=> d_{(C, (BC’N))}= $\frac{3a}{\sqrt{43}}$ . Vậy khoảng cách d cần tìm là $\frac{3a}{\sqrt{43}}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.