Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: (a + b + c)2 = 2(a2 + b2 + c2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: P = .

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 42855:

Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn:

(a + b + c)² = 2(a² + b² + c²).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: P = $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$ .

A. MaxP = $\frac{13}{9}$ ; MinP = 1

B. MaxP = $\frac{11}{9}$ ; MinP = -2

C. MaxP = $\frac{12}{9}$ ; MinP = 1

D. MaxP = $\frac{11}{9}$ ; MinP = 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42855

Giải chi tiết

Ta có (a + b + c)² = a² + b² + c²+ 2(ab + bc + ca)

⇔ 2( a² + b² + c²) = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

⇔ ab + bc + ca = $\frac{1}{2}$ (a² + b² + c²) = $\frac{1}{4}$ (a + b + c)²

Khi đó P = $\frac{4(a^{3}+ b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)^{3}}$

= 4 $(\frac{a}{a+b+c})^{3}$ + 4 $(\frac{b}{a+b+c})^{3}$ + 4 $(\frac{c}{a+b+c})^{3}$

Đặt x = $\frac{4a}{a+b+c}$ ; y = $\frac{4b}{a+b+c}$ ; z = $\frac{4c}{a+b+c}$

Từ phép đặt ta có :

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=4\\ xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} y+z=4-x\\ yz=4-x(y+z) \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} y+z=4-x\\ yz=x^{2}-4x+4 \end{matrix}\right.$ (*)

16P = x³ + y³ + z³ = x³ + (y + z)³ – 3yx(y + z) = 3x³ - 12x² + 12x + 16

P = $\frac{3}{16}$ x³- $\frac{3}{4}$ x² + $\frac{3}{4}$ x + 1

Từ (*) để tồn tại y và z khi va chỉ khi: (4 – x )² ≥ 4(4 - 4x + x² ) ⇔ x ∈ [0; $\frac{8}{3}$ ]

Như vậy bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

P = $\frac{3}{16}$ x³- $\frac{3}{4}$ x² + $\frac{3}{4}$ x + 1 trên x ∈ [0; $\frac{8}{3}$ ]

P’ = $\frac{9}{16}$ x² – $\frac{3}{2}$ x + $\frac{3}{4}$ = 0 ⇔ x = $\frac{2}{3}$ hoặc x = 2;

P(0) = 1; P ( $\frac{2}{3}$ ) = $\frac{11}{9}$ ; P(2) = 1; P( $\frac{8}{3}$ ) = 1 nên

* MaxP = $\frac{11}{9}$ tại x = $\frac{2}{3}$ .

* MinP = 1 tại x = 0; x = 2; x = $\frac{8}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.