Giải hệ phương trình

Phương trình, Bất PT và hệ PT mũ và lôgarit

Câu hỏi số 42861:

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}-y^{2}+y=x^{2}+1\\ (6x+y)log_{\frac{1}{2}}^{2}(x+y)+(x-y)log_{\sqrt{2}}(x+y)^{3}-7=0 \end{matrix}\right.$

A. (x; y) =(- $\frac{3}{4}$ ; 1); (1, 1); (- $\frac{1}{2}$ ; 1)

B. (x; y) = (- $\frac{3}{4}$ ; 1); (1, 1); (- $\frac{1}{2}$ ; -1)

C. (x; y) = (- $\frac{3}{4}$ ; 1); (1, -1); (- $\frac{1}{2}$ ; 1)

D. (x; y) = (- $\frac{3}{4}$ ; -1); (1, 1); (- $\frac{1}{2}$ ; 1)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42861

Giải chi tiết

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}-y^{2}+y=x^{2}+1\: \: \: (1)\\ (6x+y)log_{\frac{1}{2}}^{2}(x+y)+(x-y)log_{\sqrt{2}}(x+y)^{3}-7=0 \: \: \: (2) \end{matrix}\right.$

Điều kiện x + y > 0; x > y.

Từ (1) ta có (y - 1)(x² + y² + 1) = 0 ⇔ y = 1

Thế vào (2) ta được: (6x + 1) $log_{2}^{2}$ (x + 1) + 6(x - 1)log₂(x + 1) – 7 = 0 (3)

Với x = - $\frac{1}{6}$ không phải là nghiệm.

Với x ≠ - $\frac{1}{6}$ lúc này (3) ⇔ $\left [ \begin{matrix} {log_{2}(x+1)=-1}.\\ {log_{2}(x+1)=\frac{7}{6x+1}} \end{matrix}$

+ Với log₂(x + 1) = -1 ⇔ x = - $\large \frac{1}{2}$ => (x, y) = (- $\large \frac{1}{2}$ ; 1) là nghiệm.

+ Với log₂(x + 1) = $\frac{7}{6x+1}.$ với x ∈ (-1; - $\frac{1}{6}$ ) ∪ (- $\frac{1}{6}$ ; +∞)

Tac có x ∈ (-1;- $\frac{1}{6}$ ) vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến

mà VT(- $\frac{3}{4}$ ) = VP(- $\frac{3}{4}$ ) nên trên x ∈ (-1; - $\frac{1}{6}$ ) thì x = - $\frac{3}{4}$ là duy nhất thỏa mãn

Ta có (- $\frac{1}{6}$ ; +∞) vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến mà

VT(1) = VP(1) nên trên (- $\frac{1}{6}$ ; +∞) thì x = 1 là nghiệm duy nhất thỏa mãn

Như vậy hệ đã cho có 3 nghiệm (x; y) = (- $\frac{3}{4}$ ; 1); (1, 1); (- $\frac{1}{2}$ ; 1).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.