Cho \(xyz \ne 0\) và \(x + y + z = 0\). Tính \(A = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^2}

Câu hỏi số 428623:

Vận dụng cao

Cho \(xyz \ne 0\) và \(x + y + z = 0\). Tính \(A = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^2} - {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^2} - {x^2} - {y^2}}}\).

A. \(A = 1\)

B. \(A = \dfrac{1}{2}\)

C. \(A = \dfrac{5}{2}\)

D. \(A = \dfrac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428623

Phương pháp giải

Bước 1: Dựa vào giả thiết \(x + y + z = 0\) để biểu diễn 1 ẩn qua 2 ẩn còn lại

Bước 2: Vận dụng kết quả bước 1 và áp dụng quy tắc cộng các phân thức để rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{2xyz}}\)

Bước 3: Vận dụng bước 1 chứng minh \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\). Từ đó ta có kết quả của \(A\).

Giải chi tiết

\(x + y + z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y - z\\y = - x - z\\z = - x - y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {y^2} + {z^2} + 2yz\\{y^2} = {x^2} + {z^2} + 2xz\\{z^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^2} - {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^2} - {x^2} - {y^2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2} + 2yz - {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2} + {z^2} + 2xz - {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2} + {y^2} + 2xy - {x^2} - {y^2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{{2yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{2xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{2xy}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{2xyz}}\end{array}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + {z^3} = {x^3} + {y^3} + {\left( { - x - y} \right)^3}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^3} + {y^3} - {\left( {x + y} \right)^3}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^3} + {y^3} - {x^3} - {y^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3xy\left( { - x - y} \right) = 3xyz\end{array}\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{3xyz}}{{2xyz}} = \dfrac{3}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link