Cho \(xy + yz + zx = 1\) . Tính \(P = \dfrac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{x^2} + 1}}.\dfrac{{{y^2} + 2yz +

Câu hỏi số 428638:

Vận dụng cao

Cho \(xy + yz + zx = 1\) . Tính \(P = \dfrac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{x^2} + 1}}.\dfrac{{{y^2} + 2yz + {z^2}}}{{2\left( {{y^2} + 1} \right)}}.\dfrac{{{z^2} + 2zx + {x^2}}}{{3\left( {{z^2} + 1} \right)}}\).

A. \(P = \dfrac{1}{2}\)

B. \(P = 1\)

C. \(P = \dfrac{1}{4}\)

D. \(P = \dfrac{1}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428638

Phương pháp giải

Bước 1: Dựa vào \(xy + yz + zx = 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) = {x^2} + xz + yz + yx = {x^2} + 1\\\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = {y^2} + xy + yz + zx = {y^2} + 1\\\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right) = {z^2} + yz + xz + xy = {z^2} + 1\end{array} \right.\)

Bước 2: Rút gọn P bằng cách áp dụng kết quả bước 1

Giải chi tiết

Ta có: \(xy + yz + zx = 1\) .

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) = {x^2} + xz + yz + yx = {x^2} + 1\\\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = {y^2} + xy + yz + zx = {y^2} + 1\\\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right) = {z^2} + yz + xz + xy = {z^2} + 1\end{array}\)

Ta có: \(P = \dfrac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{x^2} + 1}}.\dfrac{{{y^2} + 2yz + {z^2}}}{{2\left( {{y^2} + 1} \right)}}.\dfrac{{{z^2} + 2zx + {x^2}}}{{3\left( {{z^2} + 1} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}.\dfrac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {{y^2} + 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{3\left( {{z^2} + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}.{{\left( {y + z} \right)}^2}.{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{6\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}.{{\left( {y + z} \right)}^2}.{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right).\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right).\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}.{{\left( {y + z} \right)}^2}.{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}.{{\left( {y + z} \right)}^2}.{{\left( {z + x} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{1}{6}\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link