Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z2 - (2cos)z + 1 = 0. Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho z1n + z2n = 1.

Câu hỏi số 42939:

Gọi z₁, z₂ là 2 nghiệm của phương trình z² - (2cos $\frac{5\Pi }{21}$ )z + 1 = 0. Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho z₁ⁿ+ z₂ⁿ= 1.

A. n = 5

B. n = 7

C. n = 6

D. n = 3

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42939

Giải chi tiết

Phươn trình z² - (2cos $\frac{5\Pi }{21}$ )z + 1 = 0 (1)

(1) có ∆' = cos² – 1 = -sin²

Do đó các căn bậc hai của $\Delta '$ là ±i.sin $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$

Vậy (1) có các nghiệm là $\begin{bmatrix} z_{1}=cos\frac{5\Pi }{21}-isin\frac{5\Pi }{21}\\ z_{2}=cos\frac{5\Pi }{21}+isin\frac{5\Pi }{21} \end{matrix}$

z₁ⁿ+ z₂ⁿ= 1<=> (cos $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ – i.sin $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ )ⁿ + (cos $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ + i.sin $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ )ⁿ = 1

<=> [cos(- $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ ) + i.sin(- $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ )]ⁿ + (cos $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ + i.sin $\pm isin\frac{5\Pi }{21}$ )ⁿ = 1

<=> cos(- $\frac{n5\Pi}{21}$ ) + i.sin( - $\frac{n5\Pi}{21}$ ) + cos $\frac{n5\Pi}{21}$ + i.sin $\frac{n5\Pi}{21}$ = 1

<=> cos(- $\frac{n5\Pi}{21}$ ) + cos $\frac{n5\Pi}{21}$ = 1 <=> 2.cos $\frac{n5\Pi}{21}$ = 1

<=> cos $\frac{n5\Pi}{21}$ = cos $\frac{\Pi}{3}$ <=> $\frac{n5\Pi}{21}$ = ± $\frac{\Pi}{3}$ + k2π

<=> n = ± $\frac{7}{5}$ + $\frac{42k}{5}$ ( k ∈ Z) (*)

Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất nên từ (*) suy ra n = 7

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.