Rút gọn biểu thức \(M = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{25\sqrt {24} + 24\sqrt {25} }}\)

Câu 429956: Rút gọn biểu thức \(M = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{25\sqrt {24} + 24\sqrt {25} }}\)

A. \(M = 1\)

B. \(M = 0\)

C. \(M = \dfrac{4}{5}\)

D. \(M = \dfrac{1}{2}\)

Câu hỏi : 429956

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta nhân của tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:

+) \(\dfrac{1}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A + \sqrt B }}{{A - B}}\) với \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\)

Đáp án : C
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^ * }\), ta có :

\(\dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n - n\sqrt {n + 1} }}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}n - {n^2}\left( {n + 1} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n - n\sqrt {n + 1} }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 1 - n} \right)}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n - n\sqrt {n + 1} }}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\end{array}\)

Áp dụng công thức trên ta có:

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + ...... + \dfrac{1}{{25\sqrt {24} + 24\sqrt {25} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {24} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {25} }}\\\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\end{array}\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.