Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxyz\) cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = \dfrac{{ -

Câu hỏi số 430646:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxyz\) cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = \dfrac{{ - 2}}{3}\left( {m + 1} \right)x + \dfrac{1}{3}\) (\(m\) là tham số). Gọi \({x_1};{x_2}\) là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Đặt \(f(x) = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} - x.\) Chứng minh rằng \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430646

Phương pháp giải

Sử định lí Vi-ét và biến đổi đại số + thế để được điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} + \dfrac{2}{3}\left( {m + 1} \right)x - \dfrac{1}{3} = 0\,\,\,\left( * \right)\).

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta ' = \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9} + \dfrac{1}{3} > 0\) (đúng với mọi \(m \in \mathbb{R}\)).

Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 = \dfrac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{2}\\3{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)

Ta có:

\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = x_1^3 - x_2^3 + \left( {m + 1} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - {x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right] = 2x_1^3 - 2x_2^3 - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - 2{x_1} + 2{x_2}\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right] = 2x_1^3 - 2x_2^3 - 3x_1^3 + 3{x_1}x_2^2 - 3x_1^2{x_2} + 3x_2^3 - 2{x_1} + 2{x_2}\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right] = - x_1^3 + x_2^3 + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right] = - x_1^3 + x_2^3 + \left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right] = - \left( { - x_1^3 - x_2^3 - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right] = - \left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right] = - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3}\)

Vậy \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3}\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link