Cho phương trình bậc hai \(\left( {{m^2} + 5} \right){x^2} - 2mx - 6m = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\)

Câu hỏi số 430650:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai \(\left( {{m^2} + 5} \right){x^2} - 2mx - 6m = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \({\left( {{x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} } \right)^4} = 16\).

A. \(m \in \left\{ {2;\dfrac{5}{2}} \right\}\).

B. \(m \in \left\{ {2;\dfrac{3}{2}} \right\}\).

C. \(m =\dfrac{3}{2}\).

D. Không tồn tại.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430650

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Vi-ét, đặt ẩn phụ để giải phương trình.

Giải chi tiết

Do phương trình có hệ số \(a = {m^2} + 5 > 0\) nên là phương trình bậc hai ẩn \(x.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + \left( {{m^2} + 5} \right).6m = {m^2} + 6{m^3} + 30m\\ = m\left( {6{m^2} + m + 30} \right) = m\left[ {5{m^2} + {{\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{119}}{4}} \right]\end{array}\)

Phương trình có 2 ngiệm \({x_1};{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 0\) (do \(5{m^2} + {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{119}}{4} > 0\,\,\,\forall m\)).

Khi đó, theo định lí Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 6m}}{{{m^2} + 5}}\end{array} \right.\)

Ta có: \({\left( {{x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} } \right)^4} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = 2\\{x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = - 2\end{array} \right.\)

TH1: \({x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6m}}{{{m^2} + 5}} - \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = 2\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} \,\,\,\left( {t > 0} \right)\) phương trình (1) trở thành \( - 3{t^2} - t - 2 = 0\) (1’)

Có \({\Delta _{\left( {1'} \right)}} = 1 - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = - 23 < 0 \Rightarrow \)Phương trình (1’) vô nghiệm, do đó phương trình (1) cũng vô nghiệm.

TH2: \({x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = - 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6m}}{{{m^2} + 5}} - \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = - 2\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} \,\,\,\left( {t > 0} \right)\) phương trình (2) trở thành \( - 3{t^2} - t + 2 = 0\) (2’)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {3t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow 4{m^2} - 18m + 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {4m - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{5}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tất cả các giá trị \(m\) cần tìm là \(m \in \left\{ {2;\dfrac{5}{2}} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link