Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - my = 2 - 4m\\mx + y = 3m + 1\end{array} \right.\). Giả sử

Câu hỏi số 430711:

Vận dụng

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - my = 2 - 4m\\mx + y = 3m + 1\end{array} \right.\). Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của hệ. Chứng minh đẳng thức: \(x_0^2 + y_0^2 - 5\left( {{x_0} + {y_0}} \right) + 10 = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430711

Phương pháp giải

Chuyển vế các phần tử của 2 phương trình và đặt \(m\) làm nhân tử chung. Nhân 2 vế có \({x_0}\) với nhau, 2 vế có \({y_0}\) với nhau để được điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Vì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - m{y_0} = 2 - 4m\\m{x_0} + {y_0} = 3m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {{y_0} - 4} \right) = {x_0} - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\1 - {y_0} = m\left( {{x_0} - 3} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{y_0} = 1\end{array} \right..\) Khi đó ta có: \(x_0^2 + y_0^2 - 5\left( {{x_0} + {y_0}} \right) + 10 = 0\) đúng \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

Xét \(m \ne 0.\) Nhân vế theo vế của (1) và (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,m\left( {{y_0} - 4} \right)\left( {1 - {y_0}} \right) = m\left( {{x_0} - 2} \right)\left( {{x_0} - 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{y_0} - 4} \right)\left( {1 - {y_0}} \right) = m\left( {{x_0} - 2} \right)\left( {{x_0} - 3} \right)\,\,\left( {Do\,\,m \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow - y_0^2 + 5{y_0} - 4 = x_0^2 - 5{x_0} + 6\\ \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 - 5\left( {{x_0} + {y_0}} \right) + 10 = 0\end{array}\)

Vậy biểu thức cần chứng minh đúng với mọi \(m\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link