Cho hệ phương trình: .\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - ay = 5\,\,\,\left( 1 \right)\\x + ay = {a^2} + 4a\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\). Tìm giá trị \(a \in \mathbb{Z}\) để hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y \in \mathbb{Z}\).

Câu 430723: Cho hệ phương trình: .\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - ay = 5\,\,\,\left( 1 \right)\\x + ay = {a^2} + 4a\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\). Tìm giá trị \(a \in \mathbb{Z}\) để hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y \in \mathbb{Z}\).

A. \(a = 1\)

B. \(a = - 1\)

C. \(a = -2\)

D. \(a = 2\)

Câu hỏi : 430723

Phương pháp giải:

Rút \(x\) từ PT (2) thế vào (1). Biện luận hệ số gắn với \(y\) để tìm điều kiện có nghiệm của hệ, tìm \(x,y\) của trường hợp đó theo \(a\) rồi biện luận \(a\) để \(x,y\) nguyên.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Từ phương trình (2) ta có: \(x = {a^2} + 4a - ay\)

Thế vào phương trình (1) được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 4a - ay} \right) - ay = 5\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 4a} \right) - a\left( {a + 1} \right)y - ay = 5\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 2a} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\\ \Leftrightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+ Nếu \(a = 0\) hoặc \(a = - 2\) thì (*) vô nghiệm.

+ Nếu \(a \ne 0\) và \(a \ne - 2\) thì: \(y = \dfrac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = {a^2} + 4a - ay\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 4a - \dfrac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^3} + 6{a^2} + 8a - {a^3} - 5{a^2} - 4a + 5}}{{a + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}} = \dfrac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \dfrac{1}{{a + 2}}\end{array}\)

Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 2\) là ước của 1 \( \Rightarrow a + 2 = \pm 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3\\a = - 1\end{array} \right.\).

Với \(a = - 3 \Rightarrow y = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3\left( { - 3 + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \Rightarrow \) Loại.

Với \(a = - 1 \Rightarrow y = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn).

Vậy với \(a = - 1\) hệ có nghiệm nguyên là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;5} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.