Cho hệ phương trình: .\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - ay = 5\,\,\,\left( 1 \right)\\x + ay =

Câu hỏi số 430723:

Vận dụng

Cho hệ phương trình: .\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - ay = 5\,\,\,\left( 1 \right)\\x + ay = {a^2} + 4a\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\). Tìm giá trị \(a \in \mathbb{Z}\) để hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y \in \mathbb{Z}\).

A. \(a = 1\)

B. \(a = - 1\)

C. \(a = -2\)

D. \(a = 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430723

Phương pháp giải

Rút \(x\) từ PT (2) thế vào (1). Biện luận hệ số gắn với \(y\) để tìm điều kiện có nghiệm của hệ, tìm \(x,y\) của trường hợp đó theo \(a\) rồi biện luận \(a\) để \(x,y\) nguyên.

Giải chi tiết

Từ phương trình (2) ta có: \(x = {a^2} + 4a - ay\)

Thế vào phương trình (1) được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 4a - ay} \right) - ay = 5\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 4a} \right) - a\left( {a + 1} \right)y - ay = 5\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 2a} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\\ \Leftrightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+ Nếu \(a = 0\) hoặc \(a = - 2\) thì (*) vô nghiệm.

+ Nếu \(a \ne 0\) và \(a \ne - 2\) thì: \(y = \dfrac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = {a^2} + 4a - ay\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 4a - \dfrac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^3} + 6{a^2} + 8a - {a^3} - 5{a^2} - 4a + 5}}{{a + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}} = \dfrac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \dfrac{1}{{a + 2}}\end{array}\)

Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 2\) là ước của 1 \( \Rightarrow a + 2 = \pm 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3\\a = - 1\end{array} \right.\).

Với \(a = - 3 \Rightarrow y = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3\left( { - 3 + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \Rightarrow \) Loại.

Với \(a = - 1 \Rightarrow y = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn).

Vậy với \(a = - 1\) hệ có nghiệm nguyên là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;5} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link