Cho \(\Delta EMF\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MI.\) Vẽ \(IP \bot ME\,\,\,\left( {P \in ME} \right),\)

Câu hỏi số 434549:

Vận dụng

Cho \(\Delta EMF\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MI.\) Vẽ \(IP \bot ME\,\,\,\left( {P \in ME} \right),\) \(IQ \bot MF\,\,\left( {Q \in MF} \right).\)

a) Cho biết \(ME = 4\,cm,\,\,\sin \angle MFE = \dfrac{3}{4}.\) Tính độ dài các đoạn \(EF,\,\,EI,\,\,MI.\)

b) Chứng minh \(MP.PE + MQ.QF = M{I^2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434549

Phương pháp giải

a) Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh \(EF,\,\,EI,\,\,MI.\)

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

Giải chi tiết

a) Cho biết \(ME = 4\,cm,\,\,\sin \angle MFE = \dfrac{3}{4}.\) Tính độ dài các đoạn \(EF,\,\,EI,\,\,MI.\)

Xét \(\Delta MEF\) vuông tại\(M\) ta có: \(EF = \dfrac{{ME}}{{\sin \angle MFE}} = \dfrac{4}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{16}}{3}\,\,cm.\)

\( \Rightarrow MF = \sqrt {E{F^2} - M{E^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{16}}{3}} \right)}^2} - {4^2}} \) \( = \sqrt {\dfrac{{112}}{9}} = \dfrac{{4\sqrt 7 }}{3}\,\,cm.\)

Xét \(\Delta MIF\) vuông tại \(I\) ta có: \(MI = MF.\sin \angle MFE = \dfrac{{4\sqrt 7 }}{3}.\dfrac{3}{4} = \sqrt 7 \,\,cm.\)

Áp dụng định lý Pitago trong \(\Delta MIE\) vuông tại \(I\) ta có:

\(EI = \sqrt {M{E^2} - M{I^2}} \) \( = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} = \sqrt 9 = 3\,\,cm.\)

Vậy \(EF = \dfrac{{16}}{3}\,\,cm,\,\,\,EI = 3\,\,cm,\,\,MI = \sqrt 7 \,\,cm.\)

b) Chứng minh \(MP.PE + MQ.QF = M{I^2}.\)

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IP \bot ME\, = \left\{ P \right\}\\IQ \bot MF\, = \left\{ Q \right\}\end{array} \right.\)

Xét tứ giác \(MPIQ\) ta có: \(\angle IPM = \angle PMQ = \angle MQI = {90^0}\)

\( \Rightarrow MPIQ\) là hình chữ nhật (dhnb).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MP = IQ\\PI = MQ\end{array} \right.\) (tính chất hình chữ nhật).

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MEI\) vuông tại \(I\) có đường cao \(IP\) ta có: \(I{P^2} = MP.PE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MFI\) vuông tại \(I\) có đường cao \(IQ\) ta có: \(I{Q^2} = MQ.QF.\)

\( \Rightarrow M{P^2} = I{Q^2} = MQ.QF\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MPI\) ta có:

\(M{I^2} = M{P^2} + P{I^2}\) \( = MP.PE + MQ.QF\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link