Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right),\) đường cao \(AH,\) trung tuyến \(AM.\) Gọi

Câu hỏi số 434561:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right),\) đường cao \(AH,\) trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D,\,\,E\) thứ tự là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\,\,AC;\) \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE.\)

a) Chứng minh \(AD.AB = AE.AC.\)

b) Chứng minh \(AM \bot DE\) và \(A{H^3} = DK.A{B^2}.\)

c) Biết \(HB = 3cm,\,\,HC = 7cm.\) Tính \(AB,\,\,AC,\,\,DE\) và \(\sqrt[3]{{B{D^2}}} + \sqrt[3]{{C{E^2}}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434561

Phương pháp giải

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

b) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng rồi suy ra \(AM \bot DE.\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức cần chứng minh.

c) Sử dụng hệ thức lượng để tính các cạnh bài toán yêu cầu.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(AD.AB = AE.AC.\)

Ta có: \(D,\,\,E\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(AB,\,\,AC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}HD \bot AB = \left\{ D \right\}\\HE \bot AC = \left\{ E \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle BDH = \angle HEC = {90^0}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABH\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HD\) ta có: \(A{H^2} = AD.AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ACH\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HE\) ta có: \(A{H^2} = AE.AC\)

\( \Rightarrow AD.AB = AE.AC\,\,\left( { = A{H^2}} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Chứng minh \(AM \bot DE\) và \(A{H^3} = DK.A{B^2}.\)

Ta có: \(AD.AB = AE.AC\,\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle A\,\,\,chung\\ \Rightarrow \angle \Delta ADE \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g - c - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle ADE = \angle ACB\\\angle AEB = \angle ABD\end{array} \right.\) (các cặp góc tương ứng)

Ta có: \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow AM = MB = MC\,\,\left( { = \dfrac{1}{2}BC} \right)\) (tính chất)

\( \Rightarrow \Delta MAC\) cân tại \(M\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \angle MAC = \angle MCA\) hay \(\angle KAE = \angle ACB\) \( \Rightarrow \angle KAE = \angle ADE\,\,\left( { = \angle ACB} \right)\)

Xét \(\Delta ADE\) vuông tại \(A\) ta có: \(\angle ADE + \angle AED = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle KAE + \angle AED = {90^0}\) hay \(\angle KAE + \angle KEA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AKE\) vuông tại \(K\) hay \(AM \bot DE = \left\{ K \right\}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

+) Chứng minh: \(A{H^3} = DK.A{B^2}.\)

Xét tứ giác \(ADHE\) ta có: \(\angle A = \angle D = \angle E = {90^0}\)

\( \Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật (dhnb)

\( \Rightarrow AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ADE\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AK\) ta có:

\(A{D^2} = DK.DE = DK.AH\,\,\left( {AH = DE} \right)\)

\( \Rightarrow DK = \dfrac{{A{D^2}}}{{AH}}.\)

\( \Rightarrow DK.A{B^2} = \dfrac{{A{D^2}}}{{AH}}.A{B^2}\) \( = \dfrac{{{{\left( {AD.AB} \right)}^2}}}{{AH}} = \dfrac{{{{\left( {A{H^2}} \right)}^2}}}{{AH}} = A{H^3}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

c) Biết \(HB = 3cm,\,\,HC = 7cm.\) Tính \(AB,\,\,AC,\,\,DE\) và \(\sqrt[3]{{B{D^2}}} + \sqrt[3]{{C{E^2}}}.\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 3 + 7 = 10\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{H^2} = HB.HC = 3.7 = 21\,\) \( \Rightarrow AH = \sqrt {21} \,\,cm\) \( \Rightarrow DE = AH = \sqrt {21} \,\,cm.\)

\(A{B^2} = BH.BC = 3.10 = 30\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {30} \,\,cm.\)

\(A{C^2} = HC.BC = 7.10 = 70\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {70} \,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABH\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HD\) ta có:

\(B{H^2} = BD.BA\) \( \Rightarrow BD = \dfrac{{B{H^2}}}{{BA}} = \dfrac{{{3^2}}}{{\sqrt {30} }} = \dfrac{{3\sqrt {30} }}{{10}}\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AHC\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HE\) ta có:

\(C{H^2} = CE.CA\) \( \Rightarrow CE = \dfrac{{C{H^2}}}{{CA}} = \dfrac{{{7^2}}}{{\sqrt {70} }} = \dfrac{{7\sqrt {70} }}{{10}}\,\,cm.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt[3]{{B{D^2}}} + \sqrt[3]{{C{E^2}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{{3\sqrt {30} }}{{10}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{{7\sqrt {70} }}{{10}}} \right)}^2}}}\\\,\, = \sqrt[3]{{\dfrac{{27}}{{10}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{{343}}{{10}}}} = \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{10}}}} + \dfrac{7}{{\sqrt[3]{{10}}}}\\\,\, = \dfrac{{10}}{{\sqrt[3]{{10}}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{{{{10}^3}}}{{10}}}} = \sqrt[3]{{100}}.\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link