Tìm tất cả các giá trị thực của tham số\(m\) sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1\) nằm bên phải trục tung?

Câu 434782: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số\(m\) sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1\) nằm bên phải trục tung?

A. \(m < 0\)

B. \(0 < m < \dfrac{1}{3}\)

C. \(m < \dfrac{1}{3}\)

D. Không tồn tại

Câu hỏi : 434782

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

- Hàm đa thức bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có 2 điểm cực tiểu và \(a > 0\) thì \({x_{CT}} > {x_{CD}}\).

- Giải phương trình \({x_{CT}} > 0\) tìm \(m\).

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2x + m\).

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\)

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - 3m} }}{3}\\{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {1 - 3m} }}{3}\end{array} \right.\).

Vì hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên \({x_{CT}} > {x_{CD}}\), do đó \({x_{CT}} = {x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - 3m} }}{3}\).

Theo bài ra ta có .

\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - 3m} }}{3} > 0 \Leftrightarrow - 1 + \sqrt {1 - 3m} > 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 - 3m} > 1 \Leftrightarrow 1 - 3m > 1 \Leftrightarrow m < 0\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(m < 0\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.