Cho hình chóp \(S.ABCD\) biết \(A\left( { - 2;2;6} \right)\), \(B\left( { - 3;1;8} \right)\), \(C\left( { - 1;0;7}

Câu hỏi số 436771:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) biết \(A\left( { - 2;2;6} \right)\), \(B\left( { - 3;1;8} \right)\), \(C\left( { - 1;0;7} \right)\), \(D\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\), \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Để khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(\dfrac{{27}}{2}\,\,\left( {dvtt} \right)\) thì có hai điểm \({S_1},\,\,{S_2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tọa độ trung điểm \(I\) của \({S_1}{S_2}\) là:

A. \(\left( {0;1;5} \right)\)

B. \(\left( {1;0;5} \right)\)

C. \(\left( {0; - 1; - 5} \right)\)

D. \(\left( { - 1;0; - 5} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:436771

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 1;2} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;3;3} \right)\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 2; - 2;4} \right);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \).

\( \Rightarrow AB//CD\) \( \Rightarrow ABCD\) là hình thang.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}d\left( {C;AB} \right).\left( {AB + CD} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}d\left( {C;AB} \right).\left( {AB + 2AB} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}d\left( {C;AB} \right).3AB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

Ta có: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{27}}{2}}}{{\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}}} = 3\sqrt 3 \).

Lại có \(H\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow H\left( {0;1;5} \right)\).

Gọi \(S\left( {a;b;c} \right)\) ta có \(\overrightarrow {SH} = \left( { - a;1 - b;5 - c} \right)\).

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SH} = k\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3k;3k;3k} \right)\).

Khi đó ta có: \(SH = \sqrt {9{k^2} + 9{k^2} + 9{k^2}} = 3\sqrt 3 \left| k \right| = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow k = \pm 1\).

TH1: \(k = 1\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( {3;3;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = 3\\1 - b = 3\\5 - c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = - 2\\c = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S_1}\left( { - 3; - 2;2} \right)\).

TH2: \(k = - 1\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = - 3\\1 - b = - 3\\5 - c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\\c = 8\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S_2}\left( {3;4;8} \right)\).

Vậy trung điểm \(I\) của \({S_1}{S_2}\) là: \(I\left( {0;1;5} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.