Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân với \(AB = AC = a,\widehat {BAC} =

Câu hỏi số 438773:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân với \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Mặt phẳng \((AB'C')\) tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Thể tích V của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(V = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

B. \(V = \dfrac{{9{a^3}}}{8}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

D. \(V = \dfrac{{3{a^3}}}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438773

Phương pháp giải

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của lăng trụ.

- Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = Bh\).

Giải chi tiết

Gọi\(H\) là trung điểm của \(B'C'\). Vì \(\Delta A'B'C'\) cân tại \(A'\) nên \(A'H \bot B'C'\) \( \Rightarrow A'H = A'B'.\sin {30^0} = \dfrac{a}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'H\\B'C' \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'H} \right)\) \( \Rightarrow B'C' \bot AH\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\AH \subset \left( {AB'C'} \right),\,\,AH \bot B'C'\\A'H \subset \left( {A'B'C'} \right),\,\,A'H \bot B'C'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {AH;A'H} \right) = \angle AHA' = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(AA'H\) ta có: \(AA' = A'H.tan{60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \dfrac{1}{2}.a.a.\sin {120^0} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.