Một tam giác \(ABC\) có số đo góc đỉnh \(A\) là \({60^0}\). Biết số đo góc \(B\) là một nghiệm

Câu hỏi số 440076:

Vận dụng

Một tam giác \(ABC\) có số đo góc đỉnh \(A\) là \({60^0}\). Biết số đo góc \(B\) là một nghiệm của phương trình \({\sin ^2}4x + 2\sin 4x.\cos 4x - {\cos ^2}4x = 0\). Số các tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

A. \(9\)

B. \(8\)

C. \(7\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:440076

Phương pháp giải

- Giải phương trình lượng giác dạng đẳng cấp bậc hai, tìm nghiệm của phương trình.

- Vì \(B\) là góc của tam giác nên \(0 < B < \pi \), tìm các nghiệm thỏa mãn thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\).

- Số nghiệm thỏa mãn điều kiện trên chính là số tam giác thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có: \({\sin ^2}4x + 2\sin 4x.\cos 4x - {\cos ^2}4x = 0\) (1).

TH1: \({\cos ^2}4x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}4x = 1\), phương trình (1) trở thành \(1 = 0\) (Vô nghiệm) \( \Rightarrow \) Loại.

TH2: \({\cos ^2}4x \ne 0\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}4x\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\tan ^2}4x + 2\tan 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 4x = - 1 + \sqrt 2 \\\tan 4x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \\4x = - \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{32}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{{ - 3\pi }}{{32}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\).

Vì \(B\) là góc của tam giác nên \(0 < B < \pi \).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{{32}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) ta có:

\(0 < \dfrac{\pi }{{32}} + \dfrac{{k\pi }}{4} < \pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{8} < k < \dfrac{{31}}{8} \to k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\,\,\,\,\,(k \in Z)\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{ - 3\pi }}{{32}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) ta có:

\(0 < \dfrac{{ - 3\pi }}{{32}} + \dfrac{{k\pi }}{4} < \pi \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} < k < \dfrac{{35}}{8} \to k \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)\).

Suy ra phương trình trên có 8 nghiệm thỏa mãn, tức là có 8 giá trị góc \(B\) thỏa mãn.

Ứng với mỗi giá trị của góc \(B\) cho ta 1 tam giác. Vậy có 8 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.