Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 600, SA = , SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mp (SBC) theo a.

Câu hỏi số 44280:

Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 60⁰, SA = $\frac{a\sqrt{21}}{6}$ , SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mp (SBC) theo a.

A. $V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}$ ; $d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}$

B. $V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{5}}{24}$ ; $d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}$

C. $V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}$ ; $d(HK,(SBC))=\frac{5a}{8}$

D. $V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{7}}{24}$ ; $d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44280

Giải chi tiết

∆SAC cân tại S và ∆ABC đều có H là trung điểm AB $\perp$ nên SH $\perp$ AB, CH $\perp$ AB => AB $\perp$ (SHC) mà AB= (SAB) $\cap$ (ABC) nên góc giữa (SAB) và (ABC) bằng góc giữa SH và CH do CH > SC nên $\widehat{SHC}$ nhọn => $\widehat{SHC}$ =60⁰

Thể tích S.ABC là:

V_S.ABC = V_S.ACH + V_S.BCH

∆ABC đều cạnh a có đường cao là:

$CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\frac{21a^{2} }{36}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Diện tích ∆SHC là:

$S_{\Delta SHC}=\frac{1}{2}SH.CH.sin\widehat{SHC}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}sin60^e_0=\frac{a^e_2\sqrt{3}}{8}$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}$

H, K là trung điểm của AB, AC nên HK là đường trung bình của ∆ABC => HK//BC

$\Rightarrow$ HK//(SBC) nên d(HK, (SBC))= $\frac{3.V_{S.HBC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{3.V_{S.ABC}}{S_{\Delta SBC}}$

Theo định lý cô sin trong tam giác SHC có:

$SC=\sqrt{SH^{2}+CH^{2}-2.SH.CH.cos60^{0}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$

Nên ∆SBC cân tại S. gọi I là trung điểm BC

$\Rightarrow SI=\sqrt{SC^{2}-CI^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}SI.BC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}\Rightarrow d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.