Tính tích phân: I =dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 44277:

Tính tích phân: I = $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x+cosx}{1+cos2x}$ dx

A. $\frac{\pi }{3}$ + $\tfrac{1}{4}$ ln $\frac{2+\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$

B. - $\frac{\pi }{8}$ + $\tfrac{1}{4}$ ln $\frac{2+\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$

C. $\frac{\pi }{8}$ - $\tfrac{1}{4}$ ln $\frac{2+\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$

D. $\frac{\pi }{8}$ + $\frac{1}{2}$ ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\tfrac{1}{4}$ ln $\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44277

Giải chi tiết

Ta có I = $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x+cosx}{1+cos2x}$ dx = $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{x+cosx}{2cos^{2}x}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{2cos^{2}x}$ dx + $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}} \frac{cosx}{2cos^{2}x}$ dx = I₁+ I₂

Tính I₁= $\frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}e_e_\cos }^2}xdx}$ . Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \frac{1}e_c{\rm{oe_\rm{s^2}xdx \end{array} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = tan x \end{array} \right.$

I₁= $\frac{1}{2}$ (x.tanx $\left | _0^{\frac{\pi}{4}}$ - $\int_{0}^{\frac{\pi}4{}}$ tanx.dx)

= $\frac{\pi }{8}$ + $\frac{1}{2}$ ln|cosx| $|_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ = $\frac{\pi }{8}$ + $\frac{1}{2}$ ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tính I₂= $\frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosx}{cos^{2}x}dx$ = $\frac{1}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{d(sinx)}{1-sin ^{2}x}$ = $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}ln \left | \frac{1+sinx}{1-sin x} \right |\left | _{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

= $\tfrac{1}{4}$ ln $\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Vậy I = I₁+I₂ = $\frac{\pi }{8}$ + $\frac{1}{2}$ ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\tfrac{1}{4}$ ln $\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.