Cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và góc = 300. Mặt phẳng (C’AB) tạo với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’.

Câu hỏi số 44286:

Cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và góc $\widehat{ABC}$ = 30⁰. Mặt phẳng (C’AB) tạo với đáy (ABC) một góc 60⁰. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’.

A. V = $\frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$ và khoảng cách d = $\frac{a}{2}$

B. V = $\frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$ và khoảng cách d = $\frac{a}{3}$

C. V = $\frac{a^{3}}{\sqrt{3}}$ và khoảng cách d = $\frac{a}{3}$

D. V = $\frac{a^{3}}{\sqrt{3}}$ và khoảng cách d = $\frac{a}{2}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44286

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác CAB cân tại C suy ra AB ⊥ CM.

Mặt khác AB ⊥ CC’

= >AB ⊥ (CMC’) => góc CMC’ = 60⁰.

Gọi V là thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ thì V = CC'.S_ABC

Ta có CM = BM.tan30⁰ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

=> S_ABC= $\frac{1}{2}$ CM.AB = $\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$

CC' = CM.tan60⁰ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ .√3 = a

=> V = $\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$ .a = $\frac{a^{3}}{\sqrt{3}}$

Mặt phẳng (CA’B’) chứa CB’ và song song AB nên

d_(AB,CB) = d_{(AB;(CA’B’))} = d_{(M;(CA’B’))} = MH , với N là trung điểm của A’B’ và H là hình chiếu của M trên CN.

Do MH ⊥ CN, MH ⊥ A’B’ => MH ⊥ (CA’B’)

Tam giác CMN vuông tại M nên

$\frac{1}e_M{H^2} = \frac{1}e_M{C^2} + \frac{1}e_M{N^2} = \frac{4}e_{a^2}$ => d_(AB.CB’) = MH = $\frac{a}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.