Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 44290:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}+\frac{9}{2(a+b+c)}$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{9}{2}$

C. $\frac{7}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44290

Giải chi tiết

$P=\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}+\frac{9}{2(a+b+c)}$

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}\geq \frac{2}{b};\frac{1}{b}+\frac{b}{c^{2}}\geq \frac{2}{c};\frac{1}{c}+\frac{c}{a^{2}}\geq \frac{2}{a}$

$\Rightarrow \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ca$

Ta có a + b + c = abc(a + b + c) = ab.ac + bc.ba + ca.cb ≤ (ab)² + (bc)² + (ac)²

$\Leftrightarrow$ ((ab)(ac) + (ab)(bc) + (ca)(cb)) $\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$

=> a + b + c $\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$

$P=\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq ab+bc+ca+\frac{27}{2(ab+bc+ca)^{2}}=\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{27}{2(ab+bc+ca)^{2}}\geq \frac{9}{2}$

Khi a = b = c = 1 thì P = $\frac{9}{2}$ nên giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{9}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.