Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 2\sqrt 5

Câu hỏi số 449954:

Vận dụng

Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 2\sqrt 5 \) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right].\)

A. \(T = 2\pi \)

B. \(T = \dfrac{{3\pi }}{4}\)

C. \(T = \pi \)

D. \(T = 4\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449954

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

- Đặt ẩn phụ \(t = {5^{{{\sin }^2}x}}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Giải phương trình tìm \(t\).

- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm \(x\): \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Giải bất phương trình \(0 \le x \le 2\pi \) và tìm các nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{1 - {{\sin }^2}x}} = 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{5}{{{5^{{{\sin }^2}x}}}} = 2\sqrt 5 \end{array}\)

Đặt \(t = {5^{{{\sin }^2}x}}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\), phương trình trở thành \(t + \dfrac{5}{t} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 5 t + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {t - \sqrt 5 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt 5 \,\,\left( {tm} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} = \sqrt 5 = {5^{\dfrac{1}{2}}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) ta có \(0 \le \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{7}{2}\). Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

\( \Rightarrow x = \left\{ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\) là \(T = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{5\pi }}{4} + \dfrac{{7\pi }}{4} = 4\pi \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.