Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,A'C'\). \(P\) là điểm trên cạnh \(BB'\) sao cho \(PB = 2PB'\). Thể tích của khối tứ diện \(CMNP\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng để bài toán đơn giản hơn.
- Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) kéo dài \(NC\) cắt \(AA'\) tại \(E\). Sử dụng tỉ số thể tích Simpson tính \(\dfrac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MEP}}}}\).
- Tính \(\dfrac{{{V_{C.MEP}}}}{{{V_{C.ABB'A'}}}} = \dfrac{{{S_{MEP}}}}{{{S_{ABB'A'}}}}\), sử dụng phương pháp phần bù để so sánh \({S_{MEP}}\) với \({S_{ABB'A'}}\).
- Sử dụng nhận xét \({V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\), từ đó tính \({V_{CMNP}}\) theo \(V\).
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng để bài toán đơn giản hơn.
Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) kéo dài \(NC\) cắt \(AA'\) tại \(E\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{A'N}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{EA'}}{{EA}} = \dfrac{{EN}}{{EC}}\) \( \Rightarrow N\) là trung điểm của của \(CE\) \( \Rightarrow \dfrac{{CN}}{{CE}} = \dfrac{1}{2}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MEP}}}} = \dfrac{{CM}}{{CM}}.\dfrac{{CN}}{{CE}}.\dfrac{{CP}}{{CP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{C.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{C.MEP}}\).
Dựng hình chữ nhật \(ABFE\), ta có:
\({S_{ABFE}} = {S_{ABB'A'}}\); \(\dfrac{{{S_{EAM}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{{{S_{PEF}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{PF}}{{BF}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{{{S_{PMB}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{PB}}{{BF}}.\dfrac{{BM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{12}}\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{MEP}} = {S_{ABFE}} - {S_{EAM}} - {S_{PEF}} - {S_{PMB}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {S_{ABFE}} - \dfrac{1}{4}{S_{ABFE}} - \dfrac{1}{3}{S_{ABFE}} - \dfrac{1}{{12}}{S_{ABFE}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}{S_{ABFE}} = \dfrac{2}{3}{S_{ABB'A'}}\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{C.MEP}}}}{{{V_{C.ABB'A'}}}} = \dfrac{{{S_{MEP}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{2}{3}\). Mà \({V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\) nên \({V_{C.MEP}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}V = \dfrac{4}{9}V\).
Vậy \({V_{C.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{C.MEP}} = \dfrac{2}{9}V\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
