Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,A'C'\). \(P\) là điểm trên cạnh \(BB'\) sao cho \(PB = 2PB'\). Thể tích của khối tứ diện \(CMNP\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng để bài toán đơn giản hơn.
- Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) kéo dài \(NC\) cắt \(AA'\) tại \(E\). Sử dụng tỉ số thể tích Simpson tính \(\dfrac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MEP}}}}\).
- Tính \(\dfrac{{{V_{C.MEP}}}}{{{V_{C.ABB'A'}}}} = \dfrac{{{S_{MEP}}}}{{{S_{ABB'A'}}}}\), sử dụng phương pháp phần bù để so sánh \({S_{MEP}}\) với \({S_{ABB'A'}}\).
- Sử dụng nhận xét \({V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\), từ đó tính \({V_{CMNP}}\) theo \(V\).
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng để bài toán đơn giản hơn.
Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) kéo dài \(NC\) cắt \(AA'\) tại \(E\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{A'N}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{EA'}}{{EA}} = \dfrac{{EN}}{{EC}}\) \( \Rightarrow N\) là trung điểm của của \(CE\) \( \Rightarrow \dfrac{{CN}}{{CE}} = \dfrac{1}{2}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MEP}}}} = \dfrac{{CM}}{{CM}}.\dfrac{{CN}}{{CE}}.\dfrac{{CP}}{{CP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{C.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{C.MEP}}\).
Dựng hình chữ nhật \(ABFE\), ta có:
\({S_{ABFE}} = {S_{ABB'A'}}\); \(\dfrac{{{S_{EAM}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{{{S_{PEF}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{PF}}{{BF}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{{{S_{PMB}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{PB}}{{BF}}.\dfrac{{BM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{12}}\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{MEP}} = {S_{ABFE}} - {S_{EAM}} - {S_{PEF}} - {S_{PMB}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {S_{ABFE}} - \dfrac{1}{4}{S_{ABFE}} - \dfrac{1}{3}{S_{ABFE}} - \dfrac{1}{{12}}{S_{ABFE}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}{S_{ABFE}} = \dfrac{2}{3}{S_{ABB'A'}}\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{C.MEP}}}}{{{V_{C.ABB'A'}}}} = \dfrac{{{S_{MEP}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{2}{3}\). Mà \({V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\) nên \({V_{C.MEP}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}V = \dfrac{4}{9}V\).
Vậy \({V_{C.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{C.MEP}} = \dfrac{2}{9}V\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
