Cho đoạn thẳng\(AB = 4a\). Với điểm M tùy ý, giá trị nhỏ nhất của tổng \(3M{A^2} + M{B^2}\)

Câu hỏi số 450569:

Vận dụng cao

Cho đoạn thẳng\(AB = 4a\). Với điểm M tùy ý, giá trị nhỏ nhất của tổng \(3M{A^2} + M{B^2}\) là

A. \(4{a^2}\)

B. \(12{a^2}\)

C. \(8{a^2}\)

D. \(16{a^2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:450569

Phương pháp giải

Gọi điểm I thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và đưa tổng \(3M{A^2} + M{B^2}\) về \(M{I^2} + a \ge a\). Ta tìm được giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Gọi I là điểm sao cho \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {AI} + \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {AI} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)

Do đó I cố định và \(AI = a,{\rm{ }}IB = 3a\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}3M{A^2} + M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 3\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + {{\overrightarrow {IA} }^2}} \right) + {\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + {\overrightarrow {IB} ^2}\\ = 3M{I^2} + 3I{A^2} + M{I^2} + I{B^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} \\ = 4M{I^2} + 3I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)\\ = 4M{I^2} + 3{a^2} + {\left( {3a} \right)^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0 \\ = 4M{I^2} + 12{a^2} + 0 = 4M{I^2} + 12{a^2} \ge 12{a^2}\end{array}\)

Do đó \(3M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất bằng \(12{a^2}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10