Cho đoạn thẳng\(AB = 4a\). Với điểm M tùy ý, giá trị nhỏ nhất của tổng \(3M{A^2} + M{B^2}\)

Câu hỏi số 450569:

Vận dụng cao

Cho đoạn thẳng\(AB = 4a\). Với điểm M tùy ý, giá trị nhỏ nhất của tổng \(3M{A^2} + M{B^2}\) là

A. \(4{a^2}\)

B. \(12{a^2}\)

C. \(8{a^2}\)

D. \(16{a^2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:450569

Phương pháp giải

Gọi điểm I thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và đưa tổng \(3M{A^2} + M{B^2}\) về \(M{I^2} + a \ge a\). Ta tìm được giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Gọi I là điểm sao cho \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {AI} + \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {AI} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)

Do đó I cố định và \(AI = a,{\rm{ }}IB = 3a\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}3M{A^2} + M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 3\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + {{\overrightarrow {IA} }^2}} \right) + {\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + {\overrightarrow {IB} ^2}\\ = 3M{I^2} + 3I{A^2} + M{I^2} + I{B^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} \\ = 4M{I^2} + 3I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)\\ = 4M{I^2} + 3{a^2} + {\left( {3a} \right)^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0 \\ = 4M{I^2} + 12{a^2} + 0 = 4M{I^2} + 12{a^2} \ge 12{a^2}\end{array}\)

Do đó \(3M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất bằng \(12{a^2}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.