Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(4a\), cạnh bên bằng \(2\sqrt 3 a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M,N,P\) và \(Q\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SBC} \right)\), \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SDA} \right)\). Thể tích khối chóp \(O.MNPQ\) là:

Câu 451126: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(4a\), cạnh bên bằng \(2\sqrt 3 a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M,N,P\) và \(Q\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SBC} \right)\), \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SDA} \right)\). Thể tích khối chóp \(O.MNPQ\) là:

A. \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{64{a^3}}}{{81}}\)

C. \(\dfrac{{128{a^3}}}{{81}}\)

D. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

Câu hỏi : 451126

Quảng cáo

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), vẽ \(OM \bot SE\) suy ra \(OM \bot \left( {SAB} \right)\).

Ta có: \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {12{a^2} - 8{a^2}} = 2a\)

\(SE = \sqrt {S{B^2} - B{E^2}} = \sqrt {12{a^2} - 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

Và \(SM.SE = S{O^2}\)

Suy ra \(\dfrac{{SM}}{{SE}} = \dfrac{{S{O^2}}}{{S{E^2}}} = \dfrac{{4{a^2}}}{{8{a^2}}} = \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(SE\).

Chứng minh tương tự đối với \(N,P,Q\).

Suy ra \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(\dfrac{{AC}}{4} = \sqrt 2 a\).

Ta có: \(d(O;\left( {MNPQ} \right) = d(S;\left( {MNPQ} \right) = \dfrac{{SO}}{2} = a\)

Vậy \({V_{O.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.a.{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.