Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\).

Câu hỏi số 451572:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\). Khẳng định nào sau là đúng?

A. \(a < b + c \le 2a\)

B. \(a \le b + c \le 2a\)

C. \(b + c \ge 2a\)

D. \(b + c = 2a\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451572

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác và định lý sin: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\)

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\), ta có: \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác

\( \Rightarrow \) \(b + c > a\) (bất đẳng thức tam giác).

Áp dụng định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\\\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin B = \dfrac{{b.\sin A}}{a}\\\sin C = \dfrac{{c.\sin A}}{a}\end{array} \right.\)

Mà theo đề bài: \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{b.\sin A}}{a}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{c.\sin A}}{a}} \right)^2} = 2{\sin ^2}A\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}} \right) = 2{\sin ^2}A\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\).

\( \Rightarrow 4{a^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\)\( \ge {\left( {b + c} \right)^2}\)

\( \Rightarrow b + c \le 2a\)

\( \Rightarrow a < b + c \le 2a\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.