Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\).

Câu hỏi số 451572:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\). Khẳng định nào sau là đúng?

A. \(a < b + c \le 2a\)

B. \(a \le b + c \le 2a\)

C. \(b + c \ge 2a\)

D. \(b + c = 2a\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451572

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác và định lý sin: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\)

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\), ta có: \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác

\( \Rightarrow \) \(b + c > a\) (bất đẳng thức tam giác).

Áp dụng định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\\\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin B = \dfrac{{b.\sin A}}{a}\\\sin C = \dfrac{{c.\sin A}}{a}\end{array} \right.\)

Mà theo đề bài: \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{b.\sin A}}{a}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{c.\sin A}}{a}} \right)^2} = 2{\sin ^2}A\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}} \right) = 2{\sin ^2}A\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\).

\( \Rightarrow 4{a^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\)\( \ge {\left( {b + c} \right)^2}\)

\( \Rightarrow b + c \le 2a\)

\( \Rightarrow a < b + c \le 2a\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.