Trong tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,\,AC = b,\)\(AB = c\) và đường trung tuyến \(AM = {m_a}\). Khẳng

Câu hỏi số 451573:

Vận dụng cao

Trong tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,\,AC = b,\)\(AB = c\) và đường trung tuyến \(AM = {m_a}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({m_a} = \dfrac{{b + c}}{2}\)

B. \({m_a} > \dfrac{{b + c}}{2}\)

C. \({m_a} < \dfrac{{b + c}}{2}\)

D. \({m_a} = b + c\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451573

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác và định lý đường trung tuyến.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\), ta có:

Áp dụng định lý đường trung tuyến : \(m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác : \(a > \left| {b - c} \right|\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\a > \left| {b - c} \right|\end{array} \right.\)

Từ \(a > \left| {b - c} \right|\)\( \Rightarrow {a^2} > {\left( {b - c} \right)^2}\)

\( \Rightarrow - {a^2} < - {\left( {b - c} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} < 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {b - c} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} < \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{4}\end{array}\)

Mà \(m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\) (định lí đường trung tuyến)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,m_a^2 < \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {m_a}^2 < \dfrac{{2{b^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2bc - {c^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {m_a}^2 < \dfrac{{{b^2} + {c^2} + 2bc}}{4}\\ \Leftrightarrow {m_a}^2 < \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{4}\end{array}\)

Hay \({m_a} < \dfrac{{b + c}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.