Tính tích phân : I = dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 4559:

Tính tích phân : I = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1-sinx}{(1+cosx)e^{x}}$ dx

A. I = $e^{\frac{\pi}{2}}$

B. I = $e^{\frac{\pi}{3}}$

C. I = $e^{\frac{-\pi}{2}}$

D. I = $e^{\frac{-\pi}{3}}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4559

Giải chi tiết

I = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1-sinx}{(1+cosx)e^{x}}$ dx = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1}{(1+cosx)e^{x}}$ dx - $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{sinx}{(1+cosx)e^{x}}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1}{2cos^{2}\frac{x}{2}e^{x}}$ dx - $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{2cos^{2}\frac{x}{2}e^{x}}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1}{2cos^{2}\frac{x}{2}e^{x}}$ dx - $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{tan\frac{x}{2}}{e^{x}}$ dx = I₁ – I₂ (*)

Xét I₁ = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1}{2cos^{2}\frac{x}{2}e^{x}}$ dx

Ta dùng phương pháp lấy tích phân từng phần.

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=\frac{1}{e^{x}}\\dv=\frac{dx}{2cos^{2}\frac{x}{2}}\end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix}du=\frac{-1}{e^{x}}dx\\v=tan\frac{x}{2}\end{matrix}\right.$

=>I₁ = $\frac{tan\frac{x}{2}}{e^{x}}$ $\begin{vmatrix}\frac{\pi}{2}\\0\end{vmatrix}$ + $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{tan\frac{x}{2}}{e^{x}}$ dx = $\frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}$ + I₂

Thay kết quả tìm được cho I₁ vào (*)

=> I = I₁ – I₂= $\frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}$ + I₂ – I₂ = $\frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}$ = $e^{\frac{-\pi}{2}}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.