Cho hàm số: y = . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Tính giá trị nhỏ nhất của m sao cho trên đồ thị của hàm số tồn tại cặp điểm có tiếp tuyến song song với nhau và khoảng cách giữa cặp điểm này bằng m. Với giá trị nhỏ nhất của m tìm được, hãy chỉ ra cặp điểm đó.

Câu hỏi số 4546:

Cho hàm số: y = $\frac{x+1}{x-1}$ . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Tính giá trị nhỏ nhất của m sao cho trên đồ thị của hàm số tồn tại cặp điểm có tiếp tuyến song song với nhau và khoảng cách giữa cặp điểm này bằng m. Với giá trị nhỏ nhất của m tìm được, hãy chỉ ra cặp điểm đó.

A. m = 4

B. m = 5

C. m = 6

D. m = 7

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4546

Giải chi tiết

1. Bạn đọc tự giải.

2. Cách 1: Ta có nhận xét rằng với hàm số có dạng phân thức ( bậc nhát trên bậc nhất, hoặc bậc hai trên bậc nhất ) đều có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang hoặc một tiệm cận xiên, và hai giao điểm của tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị . Suy ra nếu hai điểm thuộc đồ thị mà tại đó hai tiếp tuyến song song với nhau thì hai điểm đó đối xứng với nhau qua tâm đối xứng của đồ thị.

Ta nhận thấy rằng đồ thị của hàm số đã cho có hai tiệm cận, đó là hai tiệm cận đứng x= 1 và tiệm cận ngang y = 1, nên giao điểm I( 1 ; 1 ) của hai tiệm cận này là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Giả sử tồn tại cặp điểm thỏa mãn bài toán, khi đó hai điểm này đối xứng với nhau qua điểm I(1;1). Gọi tọa độ của cặp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x₁; y₁)và (x₂; y₂).

Thế thì x₁ + x₂ = 2, ta đặt x₁v= 1 – a và x₂ = 1 + a với a ≠ 0.

Khi đó: y₁ = $\frac{2-a}{-a}$ y₂ = $\frac{a+2}{a}$

Do khoảng cách giữa hai điểm bằng m, nên (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² = m² (với m > 0). Diều này tương đương với:

4a² + $\frac{16}{a^{2}}$ = m² ⇔ 4a² – a²m² + 16 = 0 (1)

Đặt t = a²> 0 ta được phương trình 4t² – m²t + 16 = 0 (2)

Nếu biệt số của (2) là ∆ = m⁴ – 4⁴ ≥ 0 => m ≥ 4 (do m > 0), thì phương trình (2) có nghiệm và tổng hai nghiệm của (2) bằng $\frac{m^{2}}{4}$ > 0 , nên phương trình (2) luôn có nghiệm dương. Hay phương trình (1) luôn có nghiệm.

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm của m bằng 4.

Ứng với m = 4, thay vào (1), ta được:

a⁴ – 4a² + 4 = 0 ⇔ (a² – 2)² = 0 ⇔ a = ± √2

Khi đó hai điểm cần tìm là ( 1- √2; 1- √2) và ( 1 + √2; 1 + √2).

Cách 2:

Giả sử trên đồ thị hàm số có hai điểm A(x₁;y₁)và B(x₂; y₂) mà tại đó hai tiếp tuyến với đồ thị song song với nhau. Điều này suy ra hệ số góc của hai tiếp tuyến này bằng nhau, tức là:

f'(x₁) = f'(x₂), trong đó f'(x) = $-\frac{2}{(x-1)^{2}}$ .

Vậy ta có: $-\frac{2}{(x_{1}-1)^{2}}$ = $-\frac{2}{(x_{2}-1)^{2}}$ => x₁ + x₂ = 2 ( do x₁ ≠ x₂ ) (1)

Để AB = m ⇔ (x₂ – x₁)² + ( $\frac{x_{2}+1}{x_{2}-1}$ - $\frac{x_{1}+1}{x_{1}-1}$ ) = m²

⇔ (x₂ – x₁)² + [ $\frac{2(x_{1}-x_{2})}{(x_{1}-1)(x_{2}-1)}$ ]² = m² ( m > 0) (2)

Từ (1) và (2) => x₂ = 2 – x₁ , thay vào biểu thức trên ta được:

4(1 – x)² + [ $\frac{4(1-x_{1})}{(x_{1}-1)(x_{2}-1)}$ ]² = m²

Như vậy x₁ là nghiệm của phương trình:

4(1 – x)² + $\frac{16}{(1-x)^{2}}$ = m²

Đặt t = 1 – x)² > 0, ta được phương trình 4t² – m²t + 16 = 0 (3)

có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = m⁴ – 4⁴ ≥ 0 => m ≥ 4 (do m > 0)

Khi đó phương trình (3) sẽ có nghiệm dương ( vì t₁ + t₂ = $\frac{m^{2}}{4}$ > 0), do đó (3) cũng có nghiệm. Như vậy, giá trị m = 4 là nhỏ nhất thỏa mãn bài toán.

Với m = 4, thay vào (3) giải ra ta được t = 2, khi đó:

(1 – x)² = 2 ⇔ x = ± √2.

Suy ra hai điểm cần tìm là: A( 1- √2; 1- √2) và B( 1 + √2; 1 + √2).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.