Cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.\) Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên để hàm số có điểm

Câu hỏi số 457134:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.\) Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(4\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457134

Phương pháp giải

- Giải phương trình \(y' = 0\) xác định các giá trị cực trị theo \(m\).

- Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình \({y_{CT}} < 0\).

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 3{x^2} - 2mx - {m^2}\); \(y' = 0\) có \(\Delta ' = {m^2} + 3{m^2} = 4{m^2} \ge 0\,\,\forall m\).

Để hàm số có cực tiểu, tức là có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m \ne 0\)

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{m + 2m}}{3} = m \Rightarrow y = - {m^3} + 8\\x = \dfrac{{m - 2m}}{3} = - \dfrac{m}{3} \Leftrightarrow y = \dfrac{{5{m^3}}}{{27}} + 8\end{array} \right.\)

Khi đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{y_{CT}} = - {m^3} + 8 > 0 \Leftrightarrow m < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{y_{CT}} = \dfrac{{5{m^3}}}{{27}} + 8 > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{6}{{\sqrt[3]{5}}}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m < 2\\ - \dfrac{6}{{\sqrt[3]{5}}} < m < 0\end{array} \right.\).

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;1} \right\}\). Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.