Một mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Diện tích mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 458000:

Vận dụng

Một mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

A. \(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\).

B. \(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\).

C. \(6\pi {a^2}\).

D. \(3\pi {a^2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458000

Giải chi tiết

Cho tứ diện \(ABCD\) đều cạnh \(a.\)

Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC,\,\,G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Ta có \(AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(DG\) là trục của tam giác \(ABC.\)

Trong \(\left( {DAG} \right)\) kẻ trung trực của \(DA\) cắt \(DG\) tại \(O\) thì \(OD = OA = OB = OC\) nên \(O\) chính là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng độ dài đoạn \(OD\)

Trong tam giác \(ADG\) vuông tại \(G,\) ta có:

\(DG = \sqrt {D{A^2} - G{A^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Tứ giác \(AGOI\) nội tiếp ta có:

\(DJ.DA = DO.DG \Rightarrow DO = \dfrac{{D{A^2}}}{{2DG}} \Rightarrow R = DO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.