Một mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
Câu 458000: Một mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
A. \(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\).
B. \(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\).
C. \(6\pi {a^2}\).
D. \(3\pi {a^2}\).
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Cho tứ diện \(ABCD\) đều cạnh \(a.\)
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC,\,\,G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)
Ta có \(AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(DG\) là trục của tam giác \(ABC.\)
Trong \(\left( {DAG} \right)\) kẻ trung trực của \(DA\) cắt \(DG\) tại \(O\) thì \(OD = OA = OB = OC\) nên \(O\) chính là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng độ dài đoạn \(OD\)
Trong tam giác \(ADG\) vuông tại \(G,\) ta có:
\(DG = \sqrt {D{A^2} - G{A^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Tứ giác \(AGOI\) nội tiếp ta có:
\(DJ.DA = DO.DG \Rightarrow DO = \dfrac{{D{A^2}}}{{2DG}} \Rightarrow R = DO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
