Cho \(x \ge - 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x +

Câu hỏi số 460022:

Vận dụng

Cho \(x \ge - 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

A. \(\min y = 1\,\,;\,\,\max y = \sqrt 2 \)

B. \(\min y = 0\,\,;\,\,\max y = \sqrt 2 \)

C. \(\min y = 0\,\,;\,\,\max y = 1\)

D. \(\min y = 1\,\,;\,\,\max y = 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460022

Phương pháp giải

+ Biến đổi đề chứng minh \(y \ge 0\)

+ Tìm \(Max\): Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) hoặc bình phương hai vế.

Giải chi tiết

*) Tìm \(Min\,y\)

\(x \ge - 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\\sqrt {{x^2} + 1} > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\)\( \Rightarrow y \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

Vậy \(Min\,y = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\).

*) Tìm \(Max\,y\)

Với mọi \(x,\,y \in \mathbb{R}\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2xy \le {x^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow 2xy + {x^2} + {y^2} \le {x^2} + {y^2} + {x^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow y \le \sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)

Vậy \(Max\,y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.