Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;2;-3)\). Hình chiếu của \(M\) tương ứng lên \(Ox,

Câu hỏi số 460156:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;2;-3)\). Hình chiếu của \(M\) tương ứng lên \(Ox, Oy, Oz, (Oyz), (Ozx), (Oxy)\) là \(A, B, C, D, E, F\). Gọi \(P\) và \(Q\) tương ứng là giao điểm của đường thẳng \(OM\) với các mặt phẳng \((ABC)\) và \((DEF)\). Độ dài \(PQ\) bằng:

A. \(\dfrac{6}{7}\)

B. \(\dfrac{7}{6}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {14} }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460156

Phương pháp giải

- Xác định tọa độ các điểm \(A, B, C, D, E, F\).

- Viết phương trình tham số đường thẳng \(OM\).

- Viết phương trình cá mặt phẳng \((ABC)\) và \((DEF)\).

- Tham số hóa tọa độ các điểm P, Q thuộc OM, cho \(P \in \left( {ABC} \right);\,\,Q \in \left( {DEF} \right)\), tìm tọa độ P, Q.

- Tính độ dài \(PQ = \sqrt {{{\left( {{x_Q} - {x_P}} \right)}^2} + {{\left( {{y_Q} - {y_P}} \right)}^2} + {{\left( {{z_Q} - {z_P}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;-3), D(0;2;-3), E(1;0;-3), F(1;2;0).

Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của đường thẳng OM với các mặt phẳng (ABC) và (DEF). Độ dài PQ bằng:

+ Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( {1;2; - 3} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng OM, nên phương trình đường thẳng OM là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = - 3t\end{array} \right.\).

+ Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{{ - 3}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y - 2z - 6 = 0\).

Gọi \(OM \cap \left( {ABC} \right) = P\left( {p;2p; - 3p} \right)\), ta có \(P \in \left( {ABC} \right)\) nên:

\(6p + 3.2p - 2.\left( { - 3p} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow p = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow P\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}; - 1} \right)\).

+ Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \left( {1; - 2;0} \right);\,\,\overrightarrow {DF} = \left( {1;0;3} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {DF} } \right] = \left( { - 6; - 3;2} \right)\) là 1 VTPT của (DEF).

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng (DEF) là: \( - 6x - 3\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - 6x - 3y + 2z + 12 = 0\).

Gọi \(OM \cap \left( {DEF} \right) = Q\left( {q;2q; - 3q} \right)\), ta có \(Q \in \left( {DEF} \right)\) nên:

\( - 6q - 3.2q + 2\left( { - 3q} \right) + 12 = 0 \Leftrightarrow q = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow Q\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}; - 2} \right)\).

Vậy \(PQ = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.