Giả sử \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^4} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +

Câu hỏi số 460159:

Vận dụng

Giả sử \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^4} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{12}}{x^{12}}\,\,\left( {{a_i} \in \mathbb{R}} \right)\). Giá trị của tổng \(S = C_4^0{a_4} - C_4^1{a_3} + C_4^2{a_2} - C_4^3{a_1} + C_4^4{a_0}\) bằng:

A. \(1\)

B. \(-4\)

C. \(-1\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460159

Phương pháp giải

- Phân tích \(1 + x + {x^2} + {x^3}\) thành nhân tử.

- Khai triển nhị thức Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

- Tìm \({a_0},\,\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{a_4}\) lần lượt là hệ số của các số hạng không chứa x, chứa x, chứa \({x^2},\,\,{x^3},\,\,{x^4}\).

- Thay vào tính \(S\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^4}\\ = {\left( {1 + x + {x^2}\left( {x + 1} \right)} \right)^4}\\ = {\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\\ = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k{x^k}\sum\limits_{m = 0}^4 {C_4^m{x^{2m}}} } \end{array}\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\left( {k;m} \right) = \left( {0;0} \right) \Rightarrow {a_0} = C_4^0.C_4^0 = 1\\\left( {k;m} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow {a_1} = C_4^1C_4^0 = 4\\\left( {k;m} \right) \in \left\{ {\left( {2;0} \right);\left( {0;1} \right)} \right\} \Rightarrow {a_2} = C_4^2C_4^0 + C_4^0.C_4^1 = 10\\\left( {k;m} \right) \in \left\{ {\left( {3;0} \right);\left( {1;1} \right)} \right\} \Rightarrow {a_3} = C_4^3C_4^0 + C_4^1.C_4^1 = 20\\\left( {k;m} \right) \in \left\{ {\left( {4;0} \right);\left( {2;1} \right);\left( {0;2} \right)} \right\} \Rightarrow {a_4} = C_4^4C_4^0 + C_4^2C_4^1 + C_4^0.C_4^2 = 31\end{array}\)

Vậy \(S = C_4^0{a_4} - C_4^1{a_3} + C_4^2{a_2} - C_4^3{a_1} + C_4^4{a_0} = - 4\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.